Para cada item, represente no plano complexo o conjunto dos números tais que:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa representar no plano complexo todos os números que satisfazem duas condições:
  1. O módulo de é maior que 2, ou seja, .
  2. O argumento de tem valor absoluto menor que , ou seja, .
Para isso, vamos usar conceitos de módulo e argumento de números complexos, e representar essas condições graficamente no plano complexo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o módulo de um número complexo. Se , então o módulo é dado por:
Essa é a distância do ponto até a origem no plano complexo.

Passo 3

Agora, vamos analisar a condição . Isso significa que estamos olhando para todos os pontos que estão a uma distância maior que 2 unidades da origem. Geometricamente, isso representa a região fora de um círculo de raio 2 centrado na origem.

Passo 4

Em seguida, vamos entender o argumento de , que é o ângulo formado entre a linha que liga à origem e o eixo real positivo. A condição significa que o ângulo está entre e radianos. Essencialmente, isso cobre todo o plano exceto a linha negativa do eixo real, onde o argumento seria exatamente ou .

Passo 5

Combinando as duas condições:
  1. nos dá todos os pontos fora do círculo de raio 2.
  2. cobre todo o plano complexo, exceto a linha negativa do eixo real.
Isso significa que estamos representando todos os pontos fora do círculo de raio 2, sem restrições adicionais além de excluir exatamente o ponto onde o argumento seria ou .

Resposta

A representação no plano complexo é a região de todos os pontos que estão fora do círculo de raio 2 centrado na origem. Em termos de gráficos, é todo o plano exceto o interior do círculo .

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Para cada item, represente no plano complexo o conjunto dos números tais que: e .
Determine se as sequências abaixo convergem ou divergem:
Desenhe o gráfico da função .
Para cada item, represente no plano complexo o conjunto dos números tais que: .