Para cada item, represente no plano complexo o conjunto dos números
tais que:
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Queremos representar no plano complexo todos os números
que satisfazem a condição
. Aqui, estamos lidando com números complexos e suas propriedades, especificamente a parte imaginária de
elevado ao cubo.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar
em sua forma padrão no plano complexo:
, onde
é a parte real e
é a parte imaginária de
. Agora, vamos calcular
:
Passo 3
Expandindo
usando a fórmula do binômio:
Simplificando cada termo:
Sabemos que
e
, então:
Passo 4
Agora, separamos a parte real da parte imaginária de
:
A condição dada é
, então:
Passo 5
Podemos fatorar a expressão:
Para que esse produto seja negativo, uma das duas condições deve ser verdadeira:
-
e -
e
Passo 6
Vamos analisar cada caso:
-
Quando
: -
Quando
:
Passo 7
No plano complexo, isso significa que:
- Para
, os pontos estão acima das retas e . - Para
, os pontos estão abaixo dessas retas.
Resposta
O conjunto dos números complexos
que satisfazem
consiste nos pontos do plano complexo onde:
- Se
, então . - Se
, então .
Graficamente, isso corresponde às regiões acima das linhas
e
quando
, e abaixo dessas linhas quando
.