Para cada item, represente no plano complexo o conjunto dos números z em C tais que: Im(z^3) < 0.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Queremos representar no plano complexo todos os números que satisfazem a condição . Aqui, estamos lidando com números complexos e suas propriedades, especificamente a parte imaginária de elevado ao cubo.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar em sua forma padrão no plano complexo: , onde é a parte real e é a parte imaginária de . Agora, vamos calcular :

Passo 3

Expandindo usando a fórmula do binômio:
Simplificando cada termo:
Sabemos que e , então:

Passo 4

Agora, separamos a parte real da parte imaginária de :
A condição dada é , então:

Passo 5

Podemos fatorar a expressão:
Para que esse produto seja negativo, uma das duas condições deve ser verdadeira:
  1. e
  2. e

Passo 6

Vamos analisar cada caso:
  1. Quando :
  2. Quando :

Passo 7

No plano complexo, isso significa que:
  • Para , os pontos estão acima das retas e .
  • Para , os pontos estão abaixo dessas retas.

Resposta

O conjunto dos números complexos que satisfazem consiste nos pontos do plano complexo onde:
  • Se , então .
  • Se , então .
Graficamente, isso corresponde às regiões acima das linhas e quando , e abaixo dessas linhas quando .

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