Para cada item, represente no plano complexo o conjunto dos números tais que: .

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Queremos representar no plano complexo todos os números que satisfazem a condição . Aqui, estamos lidando com números complexos e suas propriedades, especificamente a parte imaginária de elevado ao cubo.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar em sua forma padrão no plano complexo: , onde é a parte real e é a parte imaginária de . Agora, vamos calcular :

Passo 3

Expandindo usando a fórmula do binômio:
Simplificando cada termo:
Sabemos que e , então:

Passo 4

Agora, separamos a parte real da parte imaginária de :
A condição dada é , então:

Passo 5

Podemos fatorar a expressão:
Para que esse produto seja negativo, uma das duas condições deve ser verdadeira:
  1. e
  2. e

Passo 6

Vamos analisar cada caso:
  1. Quando :
  2. Quando :

Passo 7

No plano complexo, isso significa que:
  • Para , os pontos estão acima das retas e .
  • Para , os pontos estão abaixo dessas retas.

Resposta

O conjunto dos números complexos que satisfazem consiste nos pontos do plano complexo onde:
  • Se , então .
  • Se , então .
Graficamente, isso corresponde às regiões acima das linhas e quando , e abaixo dessas linhas quando .

Exercícios relacionados

Desenhe o gráfico da função .
Para cada item, represente no plano complexo o conjunto dos números tais que:
(2.0) (i) Qual a conclusão do Teorema do Valor Médio para Integrais (TVMI)?
  1. Determine se as sequências abaixo convergem ou divergem:
    (a)
    (b)
    ©
    (d)
    (e)
    (f)
  2. Determine se as séries abaixo convergem ou divergem:
    (a)
    (b)
    ©
    (d)
    (e)
    (f)
    (g)
    (h)
  3. Sendo a -ésima soma parcial de uma série dada por
encontre e .
4. Se , calcule .
5. Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências abaixo:
(a)
(b)
©
(d)
6. Encontre uma representação em série de potências e determine o raio de convergência para as funções abaixo:
(a)
(b)
7. Encontre o polinômio de Taylor de em torno de e depois calcule com precisão de cinco casas decimais.
8. Determine o grau do polinômio de Taylor de em torno de para que obtenhamos uma aproximação para o número de Euler com precisão de três casas decimais.

GABARITO

  1. (a) Converge para 1
    (b) Converge para 0
    © Converge para 0
    (d) Converge para 1
    (e) Diverge
    (f) Converge para
  2. (a) Diverge
    (b) Converge
    © Diverge
    (d) Converge
    (e) Converge
    (f) Converge
    (g) Converge
    (h) Diverge
  3. para e
  4. (a) e
    (b) e
    © e
    (d) e
  5. (a) e
    (b) e