Determine se as sequências abaixo convergem ou divergem: a_n = arctan(n)/n

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa sequência: . A gente quer descobrir se ela converge (fica perto de um número específico) ou diverge (não para de crescer ou oscilar). Para isso, vamos precisar usar conceitos de limites e entender como a função arctan se comporta quando fica muito grande.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o . A função arco-tangente, , pega um número e te dá o ângulo cuja tangente é esse número. Quando aumenta, se aproxima de porque a tangente de é infinita.

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite da sequência quando tende ao infinito:
Aqui, estamos vendo como cresce comparado com .

Passo 4

Sabemos que se aproxima de quando vai para o infinito, então podemos substituir na nossa expressão:
Isso mostra que o limite é 0.

Resposta

A sequência converge para 0.

Exercícios relacionados