Determine se as sequências abaixo convergem ou divergem:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa sequência:
. A gente quer descobrir se ela converge (fica perto de um número específico) ou diverge (não para de crescer ou oscilar). Para isso, vamos precisar usar conceitos de limites e entender como a função arctan se comporta quando
fica muito grande.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o
. A função arco-tangente,
, pega um número e te dá o ângulo cuja tangente é esse número. Quando
aumenta,
se aproxima de
porque a tangente de
é infinita.
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite da sequência quando
tende ao infinito:
Aqui, estamos vendo como
cresce comparado com
.
Passo 4
Sabemos que
se aproxima de
quando
vai para o infinito, então podemos substituir na nossa expressão:
Isso mostra que o limite é 0.
Resposta
A sequência
converge para 0.
Exercícios relacionados
Seja
. Encontre
se:
d)
d)
Seja
. Encontre
se:
c)
c)
Para cada item, represente no plano complexo o conjunto dos números
tais que:
e
.
Para cada item, represente no plano complexo o conjunto dos números
tais que: