(2.0) (i) Qual a conclusão do Teorema do Valor Médio para Integrais (TVMI)?

Passo 1

Beleza, a gente vai responder a questão que pergunta qual é a conclusão do Teorema do Valor Médio para Integrais, ou TVMI. Esse teorema faz parte do cálculo integral, especificamente no estudo das integrais definidas. Para resolver, a gente vai precisar entender o que o TVMI afirma e como ele se aplica a funções contínuas em um intervalo fechado.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema do Valor Médio para Integrais. Esse teorema basicamente garante que, se você tem uma função contínua em um intervalo , existe pelo menos um ponto nesse intervalo onde o valor da função é igual à média da função nesse intervalo.

Passo 3

Para entender melhor, vamos pensar na média da função no intervalo . A média é calculada pela integral da função de até , dividida pelo tamanho do intervalo . Ou seja:
é

Passo 4

O Teorema do Valor Médio para Integrais nos diz que existe pelo menos um ponto em tal que:
Isso significa que o valor da função em é exatamente a média dos valores da função no intervalo.

Passo 5

Isso é útil porque conecta o valor da função em um ponto específico com o comportamento geral da função no intervalo. É como dizer que há um ponto onde a função “representa” a média de todos os seus valores no intervalo.

Resposta

A conclusão do Teorema do Valor Médio para Integrais é que, para uma função contínua em , existe pelo menos um ponto em onde o valor da função é igual à média da função no intervalo. Em fórmula:

Exercícios relacionados

Para cada item, represente no plano complexo o conjunto dos números tais que: .
Desenhe o gráfico da função .
  1. Determine se as sequências abaixo convergem ou divergem:
    (a)
    (b)
    ©
    (d)
    (e)
    (f)
  2. Determine se as séries abaixo convergem ou divergem:
    (a)
    (b)
    ©
    (d)
    (e)
    (f)
    (g)
    (h)
  3. Sendo a -ésima soma parcial de uma série dada por
encontre e .
4. Se , calcule .
5. Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências abaixo:
(a)
(b)
©
(d)
6. Encontre uma representação em série de potências e determine o raio de convergência para as funções abaixo:
(a)
(b)
7. Encontre o polinômio de Taylor de em torno de e depois calcule com precisão de cinco casas decimais.
8. Determine o grau do polinômio de Taylor de em torno de para que obtenhamos uma aproximação para o número de Euler com precisão de três casas decimais.

GABARITO

  1. (a) Converge para 1
    (b) Converge para 0
    © Converge para 0
    (d) Converge para 1
    (e) Diverge
    (f) Converge para
  2. (a) Diverge
    (b) Converge
    © Diverge
    (d) Converge
    (e) Converge
    (f) Converge
    (g) Converge
    (h) Diverge
  3. para e
  4. (a) e
    (b) e
    © e
    (d) e
  5. (a) e
    (b) e
(1.0)
(i) Calcule onde é a região compreendida entre os gráficos de e .