(2.0) (i) Qual a conclusão do Teorema do Valor Médio para Integrais (TVMI)?

Passo 1

Beleza, a gente vai responder a questão que pergunta qual é a conclusão do Teorema do Valor Médio para Integrais, ou TVMI. Esse teorema faz parte do cálculo integral, especificamente no estudo das integrais definidas. Para resolver, a gente vai precisar entender o que o TVMI afirma e como ele se aplica a funções contínuas em um intervalo fechado.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema do Valor Médio para Integrais. Esse teorema basicamente garante que, se você tem uma função contínua em um intervalo , existe pelo menos um ponto nesse intervalo onde o valor da função é igual à média da função nesse intervalo.

Passo 3

Para entender melhor, vamos pensar na média da função no intervalo . A média é calculada pela integral da função de até , dividida pelo tamanho do intervalo . Ou seja:
é

Passo 4

O Teorema do Valor Médio para Integrais nos diz que existe pelo menos um ponto em tal que:
Isso significa que o valor da função em é exatamente a média dos valores da função no intervalo.

Passo 5

Isso é útil porque conecta o valor da função em um ponto específico com o comportamento geral da função no intervalo. É como dizer que há um ponto onde a função “representa” a média de todos os seus valores no intervalo.

Resposta

A conclusão do Teorema do Valor Médio para Integrais é que, para uma função contínua em , existe pelo menos um ponto em onde o valor da função é igual à média da função no intervalo. Em fórmula:

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