(2.0) (i) Qual a conclusão do Teorema do Valor Médio para Integrais (TVMI)?
Passo 1
Beleza, a gente vai responder a questão que pergunta qual é a conclusão do Teorema do Valor Médio para Integrais, ou TVMI. Esse teorema faz parte do cálculo integral, especificamente no estudo das integrais definidas. Para resolver, a gente vai precisar entender o que o TVMI afirma e como ele se aplica a funções contínuas em um intervalo fechado.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema do Valor Médio para Integrais. Esse teorema basicamente garante que, se você tem uma função contínua em um intervalo
, existe pelo menos um ponto
nesse intervalo onde o valor da função é igual à média da função nesse intervalo.
Passo 3
Para entender melhor, vamos pensar na média da função no intervalo
. A média é calculada pela integral da função de
até
, dividida pelo tamanho do intervalo
. Ou seja:
Passo 4
O Teorema do Valor Médio para Integrais nos diz que existe pelo menos um ponto
em
tal que:
Isso significa que o valor da função em
é exatamente a média dos valores da função no intervalo.
Passo 5
Isso é útil porque conecta o valor da função em um ponto específico com o comportamento geral da função no intervalo. É como dizer que há um ponto onde a função “representa” a média de todos os seus valores no intervalo.
Resposta
A conclusão do Teorema do Valor Médio para Integrais é que, para uma função contínua em
, existe pelo menos um ponto
em
onde o valor da função é igual à média da função no intervalo. Em fórmula: