CÁLCULO 2 - 2024.2
PROFESSOR: ALANCOC ALENCAR
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LISTA 1
  1. Determine se as sequências abaixo convergem ou divergem:
    (a)
    (b)
    ©
    (d)
    (e)
    (f)
  2. Determine se as séries abaixo convergem ou divergem:
    (a)
    (b)
    ©
    (d)
    (e)
    (f)
    (g)
    (h)
  3. Sendo a -ésima soma parcial de uma série dada por
encontre e .
4. Se , calcule .
5. Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências abaixo:
(a)
(b)
©
(d)
6. Encontre uma representação em série de potências e determine o raio de convergência para as funções abaixo:
(a)
(b)
7. Encontre o polinômio de Taylor de em torno de e depois calcule com precisão de cinco casas decimais.
8. Determine o grau do polinômio de Taylor de em torno de para que obtenhamos uma aproximação para o número de Euler com precisão de três casas decimais.

GABARITO

  1. (a) Converge para 1
    (b) Converge para 0
    © Converge para 0
    (d) Converge para 1
    (e) Diverge
    (f) Converge para
  2. (a) Diverge
    (b) Converge
    © Diverge
    (d) Converge
    (e) Converge
    (f) Converge
    (g) Converge
    (h) Diverge
  3. para e
  4. (a) e
    (b) e
    © e
    (d) e
  5. (a) e
    (b) e

Passo 1

Primeiro, vamos entender a questão. Temos a sequência . O conteúdo aqui envolve sequências e limites. Para resolver, precisamos determinar se essa sequência converge ou diverge, e se converge, qual é o seu limite.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão dentro da tangente. Observamos que, conforme aumenta, o termo no denominador se torna muito maior que 1. Então, podemos aproximar:
Isso sugere que o argumento da tangente está se aproximando de conforme cresce.

Passo 3

Sabemos que . Para ser mais rigorosos, vamos calcular o limite da sequência:

Passo 4

Calculando o limite interno:
Então,

Resposta

A sequência converge para 1.

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