CÁLCULO 2 - 2024.2
PROFESSOR: ALANCOC ALENCAR
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LISTA 1
  1. Determine se as sequências abaixo convergem ou divergem:
    (a) an=tan (2 n pi1+8 n)
    (b) an=(2 n-1)!(2 n+1)!
    © an=arctan (n)n
    (d) an=n sin (1n)
    (e) an=n^2raizn^3+4 n
    (f) an=raiz3+2 n^28 n^2+n
  2. Determine se as séries abaixo convergem ou divergem:
    (a) sumn=1^+infty 2 n3 n+1
    (b) sumn=1^+infty e^n3^n-1
    © sumn=1^+infty ln (1+1n)
    (d) sumn=1^+infty ln (n)n^3
    (e) sumn=0^+infty 1+sin (n)10^n
    (f) sumn=0^+infty sin (n pi+pi2)1+raizn
    (g) sumn=1^+infty(-1)^n(raizn+1-raizn)
    (h) sumn=1^+infty(1+1n)^n^2
  3. Sendo a n-ésima soma parcial de uma série sumn=1^+infty an dada por
Sn=sumk=1^n ak=n-1n+1
encontre an e sumn=1^+infty an.
4. Se sumn=1^+infty 1n^2=pi^26, calcule sumn=3^+infty 1(n+1)^2.
5. Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências abaixo:
(a) sumn=1^+infty (x-2)^nn^n
(b) sumn=1^+infty x^n2 n+1
© sumn=1^+infty(-1)^n x^n n^22^n
(d) sumn=0^+infty (x-2)^nn^2+1
6. Encontre uma representação em série de potências e determine o raio de convergência para as funções abaixo:
(a) f(x)=ln (1+x1-x)
(b) f(x)=arctan (2 x)
7. Encontre o polinômio de Taylor T3(x) de f(x)=cos (x) em torno de a=pi2 e depois calcule cos (80^circ) com precisão de cinco casas decimais.
8. Determine o grau n do polinômio de Taylor Tn(x) de f(x)=e^x em torno de a=0 para que obtenhamos uma aproximação para o número de Euler e approx Tn(1) com precisão de três casas decimais.

GABARITO

  1. (a) Converge para 1
    (b) Converge para 0
    © Converge para 0
    (d) Converge para 1
    (e) Diverge
    (f) Converge para 12
  2. (a) Diverge
    (b) Converge
    © Diverge
    (d) Converge
    (e) Converge
    (f) Converge
    (g) Converge
    (h) Diverge
  3. sumn=1^+infty an=1, an=2n(n+1) para n>1 e a1=0
  4. 6 pi^2-4936
  5. (a) R=infty e I C=(-infty,+infty)
    (b) R=1 e I C=[-1,1)
    © R=2 e I C=(-2,2)
    (d) R=1 e I C=[1,3]
  6. (a) sumn=0^+infty 2 x^2 n+12 n+1 e R=1
    (b) sumn=0^+infty(-1)^n 2^2 n+12 n+1 x^2 n+1 e R=12
  7. T3(x)=-(x-pi2)+16(x-pi2)^3 e cos (80^circ) approx 0,17365
  8. n=6

Passo 1

Primeiro, vamos entender a questão. Temos a sequência . O conteúdo aqui envolve sequências e limites. Para resolver, precisamos determinar se essa sequência converge ou diverge, e se converge, qual é o seu limite.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão dentro da tangente. Observamos que, conforme 2npi1 + 8n approx 2npi8n = pi4 aumenta, o termo no denominador se torna muito maior que 1. Então, podemos aproximar:
Isso sugere que o argumento da tangente está se aproximando de conforme cresce.

Passo 3

Sabemos que limn to infty an = limn to infty tan(2npi1 + 8n) . Para ser mais rigorosos, vamos calcular o limite da sequência:

Passo 4

Calculando o limite interno:
limn to infty 2npi1 + 8n = limn to infty 2pi8 = pi4
Então,
limn to infty an = tan(pi4) = 1

Resposta

A sequência converge para 1.

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