Em cada item, responda V (verdadeiro) ou F (falso), justificando a sua resposta:
lambda=2 é autovalor do operador linear T: R^3 longrightarrow R^3 definido por T(x, y, z)=(x+y+z, x+2 y, 3 z).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o número lambda=2 é um autovalor do operador linear T que transforma um vetor (x, y, z) em (x+y+z, x+2y, 3z) no espaço R^3. Para resolver isso, a gente vai precisar usar o conceito de autovalores e autovetores e calcular o determinante da matriz associada a T menos lambda vezes a matriz identidade.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz que representa o operador linear T. Cada coluna da matriz corresponde às coordenadas das imagens dos vetores canônicos (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1) sob T.
Assim, temos:
A = 1 & 1 & 1 1 & 2 & 0 0 & 0 & 3

Passo 3

Agora, para encontrar os autovalores de T, precisamos resolver a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
onde I é a matriz identidade de ordem 3.
Substituindo lambda=2, temos:
A - 2I = 1-2 & 1 & 1 1 & 2-2 & 0 0 & 0 & 3-2 = -1 & 1 & 1 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
det(A - 2I) = -1 & 1 & 1 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1
Como a matriz é triangular (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal:
det(A - 2I) = (-1) times 0 times 1 = 0

Passo 5

Como o determinante é igual a zero, isso significa que lambda=2 satisfaz a equação característica. Portanto, lambda=2 é realmente um autovalor do operador T.

Resposta

V (Verdadeiro). lambda=2 é um autovalor do operador linear T, pois o determinante de A - 2I é igual a zero.

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