Em cada item, responda V (verdadeiro) ou F (falso), justificando a sua resposta: é autovalor do operador linear definido por .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o número é um autovalor do operador linear que transforma um vetor em no espaço . Para resolver isso, a gente vai precisar usar o conceito de autovalores e autovetores e calcular o determinante da matriz associada a menos vezes a matriz identidade.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz que representa o operador linear . Cada coluna da matriz corresponde às coordenadas das imagens dos vetores canônicos , e sob .
Assim, temos:
Passo 3
Agora, para encontrar os autovalores de , precisamos resolver a equação característica:
onde é a matriz identidade de ordem 3.
Substituindo , temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
Como a matriz é triangular (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal:
Passo 5
Como o determinante é igual a zero, isso significa que satisfaz a equação característica. Portanto, é realmente um autovalor do operador .
Resposta
V (Verdadeiro). é um autovalor do operador linear , pois o determinante de é igual a zero.