Em cada item, responda V (verdadeiro) ou F (falso), justificando a sua resposta:
é autovalor do operador linear definido por .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o número é um autovalor do operador linear que transforma um vetor em no espaço . Para resolver isso, a gente vai precisar usar o conceito de autovalores e autovetores e calcular o determinante da matriz associada a menos vezes a matriz identidade.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz que representa o operador linear . Cada coluna da matriz corresponde às coordenadas das imagens dos vetores canônicos , e sob .
Assim, temos:

Passo 3

Agora, para encontrar os autovalores de , precisamos resolver a equação característica:
onde é a matriz identidade de ordem 3.
Substituindo , temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
Como a matriz é triangular (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal:

Passo 5

Como o determinante é igual a zero, isso significa que satisfaz a equação característica. Portanto, é realmente um autovalor do operador .

Resposta

V (Verdadeiro). é um autovalor do operador linear , pois o determinante de é igual a zero.

Exercícios relacionados

Em cada item, responda V (verdadeiro) ou F (falso), justificando a sua resposta:
é um autovetor do operador linear , definido por .
Sejam \vec{u}, \vec{v} e \vec{w} vetores em \mathbb{R}^{3}.
Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso for falsa, dê um exemplo (não genérico, isto é, com valores reais totalmente determinados) de uma terna de vetores \vec{u}, \vec{v} e \vec{w} que não satisfaz a igualdade.
(a) (\vec{u} \cdot \vec{v}) \cdot \vec{w}=\vec{u} \cdot(\vec{v} \cdot \vec{w})
Sejam A=(1,3,-1), B=(0,1,-1) e C=(2,0,-1).
(b) Calcule o cosseno do ângulo formado pelos vetores \overrightarrow{A B} e \overrightarrow{A C}.
Sabendo que o ângulo entre os vetores e é de , determinar o ângulo formado pelos vetores:
a) e
b) e
c) e
d) e