Sabendo que o ângulo entre os vetores e é de , determinar o ângulo formado pelos vetores:
a) e
b) e
c) e
d) e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado diz que o ângulo entre os vetores u e v é de 60°. Vamos precisar entender como os vetores se relacionam quando mudamos seus sinais ou multiplicamos por escalares. Para isso, vamos usar a teoria de ângulos entre vetores e propriedades básicas de vetores. Vamos lá!

Passo 2

a) Determinar o ângulo entre u e -v
Primeiro, vamos pensar no que significa multiplicar um vetor por -1. Quando fazemos isso, estamos invertendo a direção do vetor, ou seja, ele aponta na direção oposta. Agora, se o ângulo entre u e v é 60°, qual será o ângulo entre u e -v?
A propriedade que usamos aqui é que inverter a direção de um vetor não muda o ângulo absoluto, mas muda a orientação. No entanto, o ângulo entre u e -v será o ângulo suplementar em torno de 180°. Então:
Ângulo entre u e -v = 180° - 60° = 120°
b) Determinar o ângulo entre -u e v
Aqui, estamos invertendo o vetor u. Assim como no caso anterior, o ângulo entre -u e v será o suplemento do ângulo original entre u e v.
Ângulo entre -u e v = 180° - 60° = 120°
c) Determinar o ângulo entre -u e -v
Agora, estamos invertendo ambos os vetores. Se invertidos individualmente, cada um tem seu próprio ângulo suplementar em relação ao outro. Mas quando os dois estão invertidos, a direção relativa entre eles permanece a mesma que a original.
Portanto, o ângulo entre -u e -v é o mesmo que o ângulo entre u e v:
Ângulo entre -u e -v = 60°
d) Determinar o ângulo entre 2u** e 3**v****
Multiplicar um vetor por um escalar (como 2 ou 3) muda apenas o comprimento do vetor, não sua direção. O ângulo entre dois vetores depende apenas da direção deles, não do seu tamanho. Portanto, mesmo multiplicando u por 2 e v por 3, o ângulo entre eles permanece o mesmo.
Ângulo entre 2u e 3v = 60°

Resposta

a) 120°
b) 120°
c) 60°
d) 60°

Exercícios relacionados

Sejam A=(1,3,-1), B=(0,1,-1) e C=(2,0,-1).
(b) Calcule o cosseno do ângulo formado pelos vetores \overrightarrow{A B} e \overrightarrow{A C}.
Em cada item, responda V (verdadeiro) ou F (falso), justificando a sua resposta:
é autovalor do operador linear definido por .
Considere a transformação linear , definida por .
Determine .
Sejam A=(2,1,-1), B=(1,0,1) e C=(1,3,1) vértices de um triângulo.
(a) Verifique se os pontos A, B e C são colineares?