Em cada item, responda V (verdadeiro) ou F (falso), justificando a sua resposta:
é um autovetor do operador linear
, definido por
.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos verificar se o vetor
é um autovetor do operador linear
, definido por
. Para isso, precisamos usar conceitos de autovetores e autovalores da matéria de álgebra linear.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um autovetor. Um vetor
é um autovetor de um operador linear
se existir um escalar
tal que
. Aqui,
é chamado de autovalor correspondente ao autovetor
.
Passo 3
Vamos aplicar o operador
ao vetor
:
Passo 4
Agora, vamos verificar se
é um múltiplo de
. Ou seja, queremos ver se existe um
tal que:
Isso nos dá as seguintes equações:
Passo 5
Resolvendo a primeira equação:
Agora, verificamos a segunda equação com
:
As duas equações são satisfeitas com
.
Resposta
Verdadeiro (V). O vetor
é um autovetor do operador
com autovalor
.
Exercícios relacionados
Sejam \vec{u}, \vec{v} e \vec{w} vetores em \mathbb{R}^{3}.
Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso for falsa, dê um exemplo (não genérico, isto é, com valores reais totalmente determinados) de uma terna de vetores \vec{u}, \vec{v} e \vec{w} que não satisfaz a igualdade.
(a) (\vec{u} \cdot \vec{v}) \cdot \vec{w}=\vec{u} \cdot(\vec{v} \cdot \vec{w})
Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso for falsa, dê um exemplo (não genérico, isto é, com valores reais totalmente determinados) de uma terna de vetores \vec{u}, \vec{v} e \vec{w} que não satisfaz a igualdade.
(a) (\vec{u} \cdot \vec{v}) \cdot \vec{w}=\vec{u} \cdot(\vec{v} \cdot \vec{w})
Considere os vetores \vec{u}=(1,0,-1) e \vec{v}=(0,3,3).
(b) Calcule \vec{u} \times \vec{v}.
(b) Calcule \vec{u} \times \vec{v}.
Em cada item, responda V (verdadeiro) ou F (falso), justificando a sua resposta:
é autovalor do operador linear
definido por
.
Sejam A=(1,3,-1), B=(0,1,-1) e C=(2,0,-1).
(b) Calcule o cosseno do ângulo formado pelos vetores \overrightarrow{A B} e \overrightarrow{A C}.
(b) Calcule o cosseno do ângulo formado pelos vetores \overrightarrow{A B} e \overrightarrow{A C}.