Em cada item, responda V (verdadeiro) ou F (falso), justificando a sua resposta:
é um autovetor do operador linear , definido por .

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos verificar se o vetor é um autovetor do operador linear , definido por . Para isso, precisamos usar conceitos de autovetores e autovalores da matéria de álgebra linear.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um autovetor. Um vetor é um autovetor de um operador linear se existir um escalar tal que . Aqui, é chamado de autovalor correspondente ao autovetor .

Passo 3

Vamos aplicar o operador ao vetor :

Passo 4

Agora, vamos verificar se é um múltiplo de . Ou seja, queremos ver se existe um tal que:
Isso nos dá as seguintes equações:

Passo 5

Resolvendo a primeira equação:
Agora, verificamos a segunda equação com :
As duas equações são satisfeitas com .

Resposta

Verdadeiro (V). O vetor é um autovetor do operador com autovalor .

Exercícios relacionados

Sejam \vec{u}, \vec{v} e \vec{w} vetores em \mathbb{R}^{3}.
Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso for falsa, dê um exemplo (não genérico, isto é, com valores reais totalmente determinados) de uma terna de vetores \vec{u}, \vec{v} e \vec{w} que não satisfaz a igualdade.
(a) (\vec{u} \cdot \vec{v}) \cdot \vec{w}=\vec{u} \cdot(\vec{v} \cdot \vec{w})
Considere os vetores \vec{u}=(1,0,-1) e \vec{v}=(0,3,3).
(b) Calcule \vec{u} \times \vec{v}.
Em cada item, responda V (verdadeiro) ou F (falso), justificando a sua resposta:
é autovalor do operador linear definido por .
Sejam A=(1,3,-1), B=(0,1,-1) e C=(2,0,-1).
(b) Calcule o cosseno do ângulo formado pelos vetores \overrightarrow{A B} e \overrightarrow{A C}.