Em cada item, responda V (verdadeiro) ou F (falso), justificando a sua resposta:
w=(-1,3) é um autovetor do operador linear T: R^2 longrightarrow R^2, definido por T(x, y)=(x+y, 6 x).

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos verificar se o vetor é um autovetor do operador linear , definido por . Para isso, precisamos usar conceitos de autovetores e autovalores da matéria de álgebra linear.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um autovetor. Um vetor é um autovetor de um operador linear se existir um escalar tal que . Aqui, é chamado de autovalor correspondente ao autovetor .

Passo 3

Vamos aplicar o operador T(-1, 3) = (-1 + 3, 6 times (-1)) = (2, -6) ao vetor :

Passo 4

Agora, vamos verificar se (2, -6) = lambda times (-1, 3) é um múltiplo de 2 = -lambda e -6 = 3lambda . Ou seja, queremos ver se existe um tal que:
Isso nos dá as seguintes equações:

Passo 5

Resolvendo a primeira equação:
2 = -lambda implies lambda = -2
Agora, verificamos a segunda equação com -6 = 3 times (-2) implies -6 = -6 :
As duas equações são satisfeitas com .

Resposta

Verdadeiro (V). O vetor é um autovetor do operador com autovalor .

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