Em cada item, responda V (verdadeiro) ou F (falso), justificando a sua resposta:
é um autovetor do operador linear
, definido por
.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos verificar se o vetor
é um autovetor do operador linear
, definido por
. Para isso, precisamos usar conceitos de autovetores e autovalores da matéria de álgebra linear.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um autovetor. Um vetor
é um autovetor de um operador linear
se existir um escalar
tal que
. Aqui,
é chamado de autovalor correspondente ao autovetor
.
Passo 3
Vamos aplicar o operador
ao vetor
:
Passo 4
Agora, vamos verificar se
é um múltiplo de
. Ou seja, queremos ver se existe um
tal que:
Isso nos dá as seguintes equações:
Passo 5
Resolvendo a primeira equação:
Agora, verificamos a segunda equação com
:
As duas equações são satisfeitas com
.
Resposta
Verdadeiro (V). O vetor
é um autovetor do operador
com autovalor
.