Sejam \vec{u}, \vec{v} e \vec{w} vetores em \mathbb{R}^{3}.
Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso for falsa, dê um exemplo (não genérico, isto é, com valores reais totalmente determinados) de uma terna de vetores \vec{u}, \vec{v} e \vec{w} que não satisfaz a igualdade.
(a) (\vec{u} \cdot \vec{v}) \cdot \vec{w}=\vec{u} \cdot(\vec{v} \cdot \vec{w})
Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso for falsa, dê um exemplo (não genérico, isto é, com valores reais totalmente determinados) de uma terna de vetores \vec{u}, \vec{v} e \vec{w} que não satisfaz a igualdade.
(a) (\vec{u} \cdot \vec{v}) \cdot \vec{w}=\vec{u} \cdot(\vec{v} \cdot \vec{w})
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre vetores
,
e
no espaço tridimensional
. A gente precisa verificar se a igualdade
é verdadeira ou falsa. Vamos usar conceitos de produto escalar para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o produto escalar. Quando a gente faz
, estamos calculando um número (escalar) que representa a magnitude de projeção de um vetor sobre o outro. Ou seja, o resultado de um produto escalar sempre é um número, não um vetor.
Passo 3
Agora, vamos analisar a expressão
. Aqui,
é um escalar. Mas depois, estamos tentando fazer esse escalar multiplicar um vetor
. Isso é possível, pois podemos multiplicar um vetor por um número, mas o resultado será um vetor.
Passo 4
Por outro lado, a expressão
tenta repetir o processo invertido: primeiro,
é um escalar, e depois estamos tentando fazer o produto escalar entre
e esse escalar. Mas o produto escalar só funciona entre dois vetores, não entre um vetor e um número. Isso não faz sentido matematicamente.
Passo 5
Além disso, o produto escalar não é associativo. Ou seja,
não é igual a
porque, na prática, essas operações têm naturezas diferentes (uma resulta em vetor, a outra não é definida corretamente).
Resposta
A afirmação é falsa. Por exemplo, sejam:
Nessas condições:
Enquanto:
Isso mostra que a igualdade não se mantém.