Sejam \vec{u}, \vec{v} e \vec{w} vetores em \mathbb{R}^{3}.
Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso for falsa, dê um exemplo (não genérico, isto é, com valores reais totalmente determinados) de uma terna de vetores \vec{u}, \vec{v} e \vec{w} que não satisfaz a igualdade.
(a) (\vec{u} \cdot \vec{v}) \cdot \vec{w}=\vec{u} \cdot(\vec{v} \cdot \vec{w})
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre vetores , e no espaço tridimensional . A gente precisa verificar se a igualdade é verdadeira ou falsa. Vamos usar conceitos de produto escalar para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o produto escalar. Quando a gente faz , estamos calculando um número (escalar) que representa a magnitude de projeção de um vetor sobre o outro. Ou seja, o resultado de um produto escalar sempre é um número, não um vetor.
Passo 3
Agora, vamos analisar a expressão . Aqui, é um escalar. Mas depois, estamos tentando fazer esse escalar multiplicar um vetor . Isso é possível, pois podemos multiplicar um vetor por um número, mas o resultado será um vetor.
Passo 4
Por outro lado, a expressão tenta repetir o processo invertido: primeiro, é um escalar, e depois estamos tentando fazer o produto escalar entre e esse escalar. Mas o produto escalar só funciona entre dois vetores, não entre um vetor e um número. Isso não faz sentido matematicamente.
Passo 5
Além disso, o produto escalar não é associativo. Ou seja, não é igual a porque, na prática, essas operações têm naturezas diferentes (uma resulta em vetor, a outra não é definida corretamente).