Sejam A=(1,3,-1), B=(0,1,-1) e C=(2,0,-1).
(b) Calcule o cosseno do ângulo formado pelos vetores \overrightarrow{A B} e \overrightarrow{A C}.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que está no tópico de Vetores no Espaço Tridimensional. A gente precisa calcular o cosseno do ângulo formado pelos vetores e . Para isso, vamos precisar encontrar esses vetores primeiro e depois usar a fórmula do cosseno entre dois vetores, que envolve o produto escalar e as normas dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor AB = B - A = (0 - 1, 1 - 3, -1 - (-1)) = (-1, -2, 0) . Para isso, subtraímos as coordenadas de A pelas de B:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor AC = C - A = (2 - 1, 0 - 3, -1 - (-1)) = (1, -3, 0) . Fazemos a mesma coisa, subtraindo as coordenadas de A pelas de C:

Passo 4

Com os vetores AB cdot AC = (-1)(1) + (-2)(-3) + (0)(0) = -1 + 6 + 0 = 5 e em mãos, vamos calcular o produto escalar entre eles. A fórmula do produto escalar é:

Passo 5

Agora, precisamos calcular as normas (ou módulos) dos vetores ||v|| = raizvx^2 + vy^2 + vz^2 e ||AB|| = raiz(-1)^2 + (-2)^2 + 0^2 = raiz1 + 4 + 0 = raiz5 . A norma de um vetor ||AC|| = raiz1^2 + (-3)^2 + 0^2 = raiz1 + 9 + 0 = raiz10 é dada por:
Para :
Para :

Passo 6

Finalmente, vamos usar a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores:
cos(theta) = AB cdot AC||AB|| cdot ||AC||
Substituindo os valores que encontramos:
cos(theta) = 5raiz5 cdot raiz10 = 5raiz50 = 55raiz2 = 1raiz2 approx 0,7071

Resposta

O cosseno do ângulo formado pelos vetores e é aproximadamente 0,7071.

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