Em cada item, responda V (verdadeiro) ou F (falso), justificando a sua resposta:
S: R^2 longrightarrow R^3, definida por S(x, y)=(0, x, 2 x-y), é uma transformação linear.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se a transformação , definida por , é uma transformação linear. A gente vai precisar entender o que é transformação linear e quais propriedades ela deve satisfazer para ser considerada assim.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma função entre dois espaços vetoriais é linear se ela satisfaz duas propriedades principais:
  1. Aditividade: para todos os vetores e .
  2. Homogeneidade: para todo escalar e vetor .
Então, vamos testar essas duas propriedades para a transformação .

Passo 3

Vamos começar pela aditividade. Seja S(u + v) = S(x1 + x2, y1 + y2) = (0, x1 + x2, 2(x1 + x2) - (y1 + y2)) e S(u) = (0, x1, 2x1 - y1) . A soma desses vetores é S(v) = (0, x2, 2x2 - y2) . Aplicando S(u) + S(v) = (0 + 0, x1 + x2, (2x1 - y1) + (2x2 - y2)) = (0, x1 + x2, 2(x1 + x2) - (y1 + y2)) nessa soma:
Agora, vamos calcular :
Vimos que , então a aditividade está satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a homogeneidade. Seja S(cu) = S(cx, cy) = (0, cx, 2(cx) - cy) = (0, cx, c(2x - y)) um escalar e S(u) = (0, x, 2x - y) . Aplicando cS(u) = (c cdot 0, c cdot x, c(2x - y)) = (0, cx, c(2x - y)) a :
Agora, vamos calcular :
Vimos que , então a homogeneidade também está satisfeita.

Resposta

V (verdadeiro). A transformação satisfaz as propriedades de aditividade e homogeneidade, portanto é uma transformação linear.

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