Em cada item, responda V (verdadeiro) ou F (falso), justificando a sua resposta:
, definida por
, é uma transformação linear.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se a transformação
, definida por
, é uma transformação linear. A gente vai precisar entender o que é transformação linear e quais propriedades ela deve satisfazer para ser considerada assim.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma função
entre dois espaços vetoriais é linear se ela satisfaz duas propriedades principais:
- Aditividade:
para todos os vetores e . - Homogeneidade:
para todo escalar e vetor .
Então, vamos testar essas duas propriedades para a transformação
.
Passo 3
Vamos começar pela aditividade. Seja
e
. A soma desses vetores é
. Aplicando
nessa soma:
Agora, vamos calcular
:
Vimos que
, então a aditividade está satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar a homogeneidade. Seja
um escalar e
. Aplicando
a
:
Agora, vamos calcular
:
Vimos que
, então a homogeneidade também está satisfeita.
Resposta
V (verdadeiro). A transformação
satisfaz as propriedades de aditividade e homogeneidade, portanto é uma transformação linear.