Determine o vetor \vec{v} tal que:
(a) \vec{v} \times(\vec{i}+\vec{k})=2(\vec{i}+\vec{j}-\vec{k}) e |\vec{v}|=\sqrt{6};

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar um vetor que, quando fizer o produto vetorial com , resulte em . Além disso, precisamos que a norma de seja .
Vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente o produto vetorial e a norma de um vetor.

Passo 2

Vamos representar o vetor v = ai + bj + ck em termos das componentes cartesianas:
i + k = 1i + 0j + 1k
E o vetor é:

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial u times w = (uywz - uzwy)i - (uxwz - uzwx)j + (uxwy - uywx)k . Lembrando que o produto vetorial de dois vetores v times (i + k) = (b cdot 1 - c cdot 0)i - (a cdot 1 - c cdot 1)j + (a cdot 0 - b cdot 1)k e v times (i + k) = bi - (a - c)j - bk é dado por:
Aplicando isso ao nosso caso:
Simplificando:

Passo 4

Segundo a questão, esse produto vetorial é igual a bi - (a - c)j - bk = 2i + 2j - 2k . Então:
Isso nos dá um sistema de equações comparando os coeficientes das componentes:
  1. \quad (componente )
  2. \quad (componente )
  3. \quad (componente )

Passo 5

Primeiro, da equação 1 e 3:
Da equação 1:
Da equação 3:
Consistência confirmada para
Da equação 2:

Passo 6

Agora, usamos a condição da norma do vetor |v| = raiza^2 + b^2 + c^2 . A norma de um vetor raiza^2 + b^2 + c^2 = raiz6 é dada por:
a^2 + b^2 + c^2 = 6
Segundo a questão, (c - 2)^2 + 2^2 + c^2 = 6 , então:
(c^2 - 4c + 4) + 4 + c^2 = 6
Elevando ao quadrado os dois lados:
2c^2 - 4c + 8 = 6
Já sabemos que 2c^2 - 4c + 2 = 0 e c^2 - 2c + 1 = 0 . Vamos substituir essas na equação:
Simplificando:
Dividindo por 2:

Passo 7

Resolvendo a equação quadrática:
c^2 - 2c + 1 = 0
Isso é um quadrado perfeito:
(c - 1)^2 = 0
Então:
c = 1
Agora, usando a = 1 - 2 = -1 :

Resposta

O vetor v = -1i + 2j + 1k é:

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