Determine o vetor \vec{v} tal que:
(a) \vec{v} \times(\vec{i}+\vec{k})=2(\vec{i}+\vec{j}-\vec{k}) e |\vec{v}|=\sqrt{6};

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar um vetor que, quando fizer o produto vetorial com , resulte em . Além disso, precisamos que a norma de seja .
Vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente o produto vetorial e a norma de um vetor.

Passo 2

Vamos representar o vetor em termos das componentes cartesianas:
E o vetor é:

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial . Lembrando que o produto vetorial de dois vetores e é dado por:
Aplicando isso ao nosso caso:
Simplificando:

Passo 4

Segundo a questão, esse produto vetorial é igual a . Então:
Isso nos dá um sistema de equações comparando os coeficientes das componentes:
  1. \quad (componente )
  2. \quad (componente )
  3. \quad (componente )

Passo 5

Primeiro, da equação 1 e 3:
Da equação 1:
Da equação 3:
Consistência confirmada para
Da equação 2:

Passo 6

Agora, usamos a condição da norma do vetor . A norma de um vetor é dada por:
Segundo a questão, , então:
Elevando ao quadrado os dois lados:
Já sabemos que e . Vamos substituir essas na equação:
Simplificando:
Dividindo por 2:

Passo 7

Resolvendo a equação quadrática:
Isso é um quadrado perfeito:
Então:
Agora, usando :

Resposta

O vetor é:

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Explique por que o conjunto de vetores dado é linearmente independente. (Resolva o problema inspecionando o conjunto.)
Em cada item, responda V (verdadeiro) ou F (falso), justificando a sua resposta:
, definida por , é uma transformação linear.
Sejam A=(0,1,2), M=(1,2,0) e B pontos de \mathbb{R}^{3}.
(b) Determine |\overrightarrow{A B}|.
Sejam A=(2,1,0), B=(-1,2,1) e C vértices de um triângulo com área igual a a \sqrt{6}. Sabendo que o ponto C está no eixo y :
(b) Determine a altura relativa ao lado \overrightarrow{A B}.