Determine o vetor \vec{v} tal que:
(a) \vec{v} \times(\vec{i}+\vec{k})=2(\vec{i}+\vec{j}-\vec{k}) e |\vec{v}|=\sqrt{6};
(a) \vec{v} \times(\vec{i}+\vec{k})=2(\vec{i}+\vec{j}-\vec{k}) e |\vec{v}|=\sqrt{6};
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar um vetor
que, quando fizer o produto vetorial com
, resulte em
. Além disso, precisamos que a norma de
seja
.
Vamos usar conceitos de álgebra vetorial, especificamente o produto vetorial e a norma de um vetor.
Passo 2
Vamos representar o vetor
em termos das componentes cartesianas:
E o vetor
é:
Passo 3
Vamos calcular o produto vetorial
. Lembrando que o produto vetorial de dois vetores
e
é dado por:
Aplicando isso ao nosso caso:
Simplificando:
Passo 4
Segundo a questão, esse produto vetorial é igual a
. Então:
Isso nos dá um sistema de equações comparando os coeficientes das componentes:
-
\quad (componente ) -
\quad (componente ) -
\quad (componente )
Passo 5
Primeiro, da equação 1 e 3:
Da equação 1:
Da equação 3:
⇒
Consistência confirmada para
Da equação 2:
Passo 6
Agora, usamos a condição da norma do vetor
. A norma de um vetor
é dada por:
Segundo a questão,
, então:
Elevando ao quadrado os dois lados:
Já sabemos que
e
. Vamos substituir essas na equação:
Simplificando:
Dividindo por 2:
Passo 7
Resolvendo a equação quadrática:
Isso é um quadrado perfeito:
Então:
Agora, usando
:
Resposta
O vetor
é:
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Explique por que o conjunto de vetores dado é linearmente independente. (Resolva o problema inspecionando o conjunto.)
Em cada item, responda V (verdadeiro) ou F (falso), justificando a sua resposta:
, definida por
, é uma transformação linear.
Sejam A=(0,1,2), M=(1,2,0) e B pontos de \mathbb{R}^{3}.
(b) Determine |\overrightarrow{A B}|.
(b) Determine |\overrightarrow{A B}|.
Sejam A=(2,1,0), B=(-1,2,1) e C vértices de um triângulo com área igual a a \sqrt{6}. Sabendo que o ponto C está no eixo y :
(b) Determine a altura relativa ao lado \overrightarrow{A B}.
(b) Determine a altura relativa ao lado \overrightarrow{A B}.