Considere as transformações lineares T: R^3 longrightarrow M2(R) e S: M2(R) longrightarrow R^2 dadas por T(1,0,1)=(cc1 & 0 0 & -1), T(1,1,0)=(cc2 & -1 0 & -1), T(1,0,0)=(cc1 & -1 0 & 0) e
[S]gamma^beta=(cccc 2 & 2 & -1 & -1 -1 & -1 & 1 & 1 )
Sejam alpha=(1,0,1),(1,1,0),(1,0,0) (base do R^3), beta a base canônica do M2(R) e gamma=(1,1),(1,2) (base do R^2).
Determine [T]beta^alpha e [S circ T]gamma^alpha.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas transformações lineares aqui: que vai de pra matrizes 2x2 reais, e que faz o caminho inverso, de matrizes 2x2 pra . Nosso objetivo é encontrar as matrizes que representam essas transformações nas bases dadas. Especificamente, precisamos determinar e . Para isso, vamos usar conceitos de transformação linear, bases e composição de transformações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Essa é a matriz que representa a transformação quando a gente usa a base no espaço de partida ( ) e a base no espaço de chegada ( ). Como é a base canônica das matrizes 2x2, cada coluna dessa matriz vai ser a representação de aplicada aos vetores da base , expressos na base .

Passo 3

Vamos listar os vetores da base alpha = (1,0,1), , (1,1,0), , (1,0,0) :
T(1,0,1) = 1 & 0 0 & -1 , T(1,1,0) = 2 & -1 0 & -1 , T(1,0,0) = 1 & -1 0 & 0
E as imagens desses vetores pela transformação são dadas:
Como é a base canônica, cada matriz está representada diretamente em termos das entradas padrão. Então, cada imagem já está pronta para ser colocada como coluna na matriz .

Passo 4

Vamos construir a matriz [T]beta^alpha = T11(1,0,1) & T11(1,1,0) & T11(1,0,0) T12(1,0,1) & T12(1,1,0) & T12(1,0,0) T21(1,0,1) & T21(1,1,0) & T21(1,0,0) T22(1,0,1) & T22(1,1,0) & T22(1,0,0) . Como mapeia para , que tem dimensão 4 (porque cada matriz 2x2 tem 4 entradas), mas estamos usando a base canônica, cada coluna da matriz será um vetor coluna com 4 entradas correspondentes às posições da matriz 2x2.
Vamos organizar assim:
Onde são as entradas das matrizes .

Passo 5

Vamos preencher os valores:
[T]beta^alpha = 1 & 2 & 1 0 & -1 & -1 0 & 0 & 0 -1 & -1 & 0
Cada coluna corresponde a aplicado a um vetor da base , organizado nas entradas da base .

Passo 6

Agora, vamos calcular [S circ T]gamma^alpha = [S]gamma^beta cdot [T]beta^alpha . Primeiro, lembrando que significa que a gente aplica primeiro e depois . Para encontrar a matriz dessa composição, usamos a regra de que:
Onde é a matriz que representa com base em e .

Passo 7

Vamos lembrar que:
[S]gamma^beta = 2 & 2 & -1 & -1 -1 & -1 & 1 & 1
E já temos:
[T]beta^alpha = 1 & 2 & 1 0 & -1 & -1 0 & 0 & 0 -1 & -1 & 0
Para multiplicar essas duas matrizes, certificamo-nos que o número de colunas de é igual ao número de linhas de , o que é verdade (4 colunas e 4 linhas). O resultado será uma matriz de dimensão 2x3.

Passo 8

Vamos fazer a multiplicação:
[S circ T]gamma^alpha = 2 & 2 & -1 & -1 -1 & -1 & 1 & 1 cdot 1 & 2 & 1 0 & -1 & -1 0 & 0 & 0 -1 & -1 & 0
Calculando cada entrada:
  • Primeira linha, primeira coluna:
  • Primeira linha, segunda coluna:
  • Primeira linha, terceira coluna:
  • Segunda linha, primeira coluna:
  • Segunda linha, segunda coluna:
  • Segunda linha, terceira coluna:

Resposta

[S circ T]gamma^alpha = 3 & 3 & 0 -2 & -2 & 0

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