Considere as transformações lineares e dadas por e
Sejam (base do a base canônica do e (base do .
Determine e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas transformações lineares aqui: que vai de pra matrizes 2x2 reais, e que faz o caminho inverso, de matrizes 2x2 pra . Nosso objetivo é encontrar as matrizes que representam essas transformações nas bases dadas. Especificamente, precisamos determinar e . Para isso, vamos usar conceitos de transformação linear, bases e composição de transformações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa . Essa é a matriz que representa a transformação quando a gente usa a base no espaço de partida () e a base no espaço de chegada (). Como é a base canônica das matrizes 2x2, cada coluna dessa matriz vai ser a representação de aplicada aos vetores da base , expressos na base .
Passo 3
Vamos listar os vetores da base :
E as imagens desses vetores pela transformação são dadas:
Como é a base canônica, cada matriz está representada diretamente em termos das entradas padrão. Então, cada imagem já está pronta para ser colocada como coluna na matriz .
Passo 4
Vamos construir a matriz . Como mapeia para , que tem dimensão 4 (porque cada matriz 2x2 tem 4 entradas), mas estamos usando a base canônica, cada coluna da matriz será um vetor coluna com 4 entradas correspondentes às posições da matriz 2x2.
Vamos organizar assim:
Onde são as entradas das matrizes .
Passo 5
Vamos preencher os valores:
Cada coluna corresponde a aplicado a um vetor da base , organizado nas entradas da base .
Passo 6
Agora, vamos calcular . Primeiro, lembrando que significa que a gente aplica primeiro e depois . Para encontrar a matriz dessa composição, usamos a regra de que:
Onde é a matriz que representa com base em e .
Passo 7
Vamos lembrar que:
E já temos:
Para multiplicar essas duas matrizes, certificamo-nos que o número de colunas de é igual ao número de linhas de , o que é verdade (4 colunas e 4 linhas). O resultado será uma matriz de dimensão 2x3.
Passo 8
Vamos fazer a multiplicação:
Calculando cada entrada:
- Primeira linha, primeira coluna:
- Primeira linha, segunda coluna:
- Primeira linha, terceira coluna:
- Segunda linha, primeira coluna:
- Segunda linha, segunda coluna:
- Segunda linha, terceira coluna: