Considere as transformações lineares e dadas por e Sejam (base do a base canônica do e (base do . Determine e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas transformações lineares aqui: que vai de pra matrizes 2x2 reais, e que faz o caminho inverso, de matrizes 2x2 pra . Nosso objetivo é encontrar as matrizes que representam essas transformações nas bases dadas. Especificamente, precisamos determinar e . Para isso, vamos usar conceitos de transformação linear, bases e composição de transformações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Essa é a matriz que representa a transformação quando a gente usa a base no espaço de partida () e a base no espaço de chegada (). Como é a base canônica das matrizes 2x2, cada coluna dessa matriz vai ser a representação de aplicada aos vetores da base , expressos na base .

Passo 3

Vamos listar os vetores da base : E as imagens desses vetores pela transformação são dadas: Como é a base canônica, cada matriz está representada diretamente em termos das entradas padrão. Então, cada imagem já está pronta para ser colocada como coluna na matriz .

Passo 4

Vamos construir a matriz . Como mapeia para , que tem dimensão 4 (porque cada matriz 2x2 tem 4 entradas), mas estamos usando a base canônica, cada coluna da matriz será um vetor coluna com 4 entradas correspondentes às posições da matriz 2x2. Vamos organizar assim: Onde são as entradas das matrizes .

Passo 5

Vamos preencher os valores: Cada coluna corresponde a aplicado a um vetor da base , organizado nas entradas da base .

Passo 6

Agora, vamos calcular . Primeiro, lembrando que significa que a gente aplica primeiro e depois . Para encontrar a matriz dessa composição, usamos a regra de que: Onde é a matriz que representa com base em e .

Passo 7

Vamos lembrar que: E já temos: Para multiplicar essas duas matrizes, certificamo-nos que o número de colunas de é igual ao número de linhas de , o que é verdade (4 colunas e 4 linhas). O resultado será uma matriz de dimensão 2x3.

Passo 8

Vamos fazer a multiplicação: Calculando cada entrada: - Primeira linha, primeira coluna: - Primeira linha, segunda coluna: - Primeira linha, terceira coluna: - Segunda linha, primeira coluna: - Segunda linha, segunda coluna: - Segunda linha, terceira coluna:

Resposta

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Sejam A=(1,0,2), B=(-1,1,1), C=(0,1,-1) e D=(2,0,-2). Calcule: (b) (\overrightarrow{A B} \times \overrightarrow{A C}) \cdot \overrightarrow{A D}+\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{C D}
Considere os pontos A=(1,0,-1), B=(-2,1,3), C=(1,1,1) e D=(-1,0,0). (b) Determine a projeção de \overrightarrow{B C} sobre \overrightarrow{A B}.
Em cada item, responda V (verdadeiro) ou F (falso), justificando a sua resposta: , definida por , é uma transformação linear.
Explique por que o conjunto de vetores dado é linearmente independente. (Resolva o problema inspecionando o conjunto.)