Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos quatro pontos no espaço: A, B, C e D, com coordenadas dadas. Precisamos calcular a expressão . Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra vetorial, como vetor posição, produto vetorial e produto escalar.
Passo 2
Vamos começar encontrando os vetores AB = B - A = (-1 - 1, 1 - 0, 1 - 2) = (-2, 1, -1) , AC = C - A = (0 - 1, 1 - 0, -1 - 2) = (-1, 1, -3) , AD = D - A = (2 - 1, 0 - 0, -2 - 2) = (1, 0, -4) e CD = D - C = (2 - 0, 0 - 1, -2 - (-1)) = (2, -1, -1) . Para encontrar um vetor entre dois pontos, subtraímos as coordenadas iniciais das finais.
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto vetorial AB times AC = i & j & k -2 & 1 & -1 -1 & 1 & -3 = ( (1)(-3) - (-1)(1) )i - ( (-2)(-3) - (-1)(-1) )j + ( (-2)(1) - (1)(-1) )k . O produto vetorial de dois vetores = (-3 + 1)i - (6 - 1)j + (-2 + 1)k = (-2)i - 5j -1k = (-2, -5, -1) e é dado por:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular o produto escalar (AB times AC) cdot AD = (-2)(1) + (-5)(0) + (-1)(-4) = -2 + 0 + 4 = 2 . O produto escalar de dois vetores e é:
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto escalar AB cdot CD = (-2)(2) + (1)(-1) + (-1)(-1) = -4 -1 +1 = -4 :
Resposta
(AB times AC) cdot AD + AB cdot CD = 2 + (-4) = -2