Explique por que o conjunto de vetores dado é linearmente independente. (Resolva o problema inspecionando o conjunto.)
Passo 1
Vamos começar entendendo o que foi pedido. Temos um conjunto de três vetores no espaço
e precisamos explicar por que esse conjunto é linearmente dependente. Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear relacionados à independência linear de vetores.
Passo 2
Primeiro, é importante entender o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores. Caso contrário, dizemos que o conjunto é linearmente dependente.
Passo 3
Para verificar se os vetores
e
são linearmente independentes ou dependentes, vamos tentar encontrar coeficientes escalares, não todos zero, que satisfazem a seguinte equação:
Se conseguirmos encontrar tais coeficientes, o conjunto é linearmente dependente.
Passo 4
Vamos substituir os vetores na equação:
Isso resulta em um sistema de equações:
Passo 5
Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de
e
.
Primeiro, podemos multiplicar a segunda equação por 3 para facilitar a eliminação:
Somando as duas equações:
Passo 6
Agora, podemos expressar
em função de
:
Escolhendo
(um múltiplo conveniente), temos:
Substituindo
e
na primeira equação original:
Passo 7
Encontramos uma solução não trivial para os coeficientes:
Como existe uma combinação não trivial (nem todos os coeficientes são zero) que satisfaz a equação, isso significa que os vetores são linearmente dependentes.
Resposta
O conjunto de vetores
,
e
em
é linearmente dependente.