Explique por que o conjunto de vetores dado é linearmente independente. (Resolva o problema inspecionando o conjunto.)

Passo 1

Vamos começar entendendo o que foi pedido. Temos um conjunto de três vetores no espaço e precisamos explicar por que esse conjunto é linearmente dependente. Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear relacionados à independência linear de vetores.

Passo 2

Primeiro, é importante entender o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores. Caso contrário, dizemos que o conjunto é linearmente dependente.

Passo 3

Para verificar se os vetores e são linearmente independentes ou dependentes, vamos tentar encontrar coeficientes escalares, não todos zero, que satisfazem a seguinte equação:
Se conseguirmos encontrar tais coeficientes, o conjunto é linearmente dependente.

Passo 4

Vamos substituir os vetores na equação:
Isso resulta em um sistema de equações:

Passo 5

Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de e .
Primeiro, podemos multiplicar a segunda equação por 3 para facilitar a eliminação:
Somando as duas equações:

Passo 6

Agora, podemos expressar em função de :
Escolhendo (um múltiplo conveniente), temos:
Substituindo e na primeira equação original:

Passo 7

Encontramos uma solução não trivial para os coeficientes:
Como existe uma combinação não trivial (nem todos os coeficientes são zero) que satisfaz a equação, isso significa que os vetores são linearmente dependentes.

Resposta

O conjunto de vetores , e em é linearmente dependente.

Exercícios relacionados

Em cada item, responda V (verdadeiro) ou F (falso), justificando a sua resposta:
, definida por , é uma transformação linear.
Considere as transformações lineares e dadas por e
Sejam (base do a base canônica do e (base do .
Determine e .
Determine o vetor \vec{v} tal que:
(a) \vec{v} \times(\vec{i}+\vec{k})=2(\vec{i}+\vec{j}-\vec{k}) e |\vec{v}|=\sqrt{6};
Sejam A=(0,1,2), M=(1,2,0) e B pontos de \mathbb{R}^{3}.
(b) Determine |\overrightarrow{A B}|.