Explique por que o conjunto de vetores dado é linearmente independente. (Resolva o problema inspecionando o conjunto.) u1=(3,-1), u2=(4,5), u3=(-4,7) em R^2

Passo 1

Vamos começar entendendo o que foi pedido. Temos um conjunto de três vetores no espaço e precisamos explicar por que esse conjunto é linearmente dependente. Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear relacionados à independência linear de vetores.

Passo 2

Primeiro, é importante entender o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores. Caso contrário, dizemos que o conjunto é linearmente dependente.

Passo 3

Para verificar se os vetores c1u1 + c2u2 + c3u3 = 0 e são linearmente independentes ou dependentes, vamos tentar encontrar coeficientes escalares, não todos zero, que satisfazem a seguinte equação:
Se conseguirmos encontrar tais coeficientes, o conjunto é linearmente dependente.

Passo 4

Vamos substituir os vetores na equação:
c1(3, -1) + c2(4, 5) + c3(-4, 7) = (0, 0)
Isso resulta em um sistema de equações:
3c1 + 4c2 - 4c3 = 0 -1c1 + 5c2 + 7c3 = 0

Passo 5

Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de 3c1 + 4c2 - 4c3 = 0 -3c1 + 15c2 + 21c3 = 0 e (3c1 - 3c1) + (4c2 + 15c2) + (-4c3 + 21c3) = 0 + 0 19c2 + 17c3 = 0 .
Primeiro, podemos multiplicar a segunda equação por 3 para facilitar a eliminação:
Somando as duas equações:

Passo 6

Agora, podemos expressar 19c2 = -17c3 c2 = -1719c3 em função de c2 = -17 :
3c1 + 4(-17) - 4(19) = 0 3c1 - 68 - 76 = 0 3c1 = 144 c1 = 48
Escolhendo (um múltiplo conveniente), temos:
Substituindo e na primeira equação original:

Passo 7

Encontramos uma solução não trivial para os coeficientes:
c1 = 48, c2 = -17, c3 = 19
Como existe uma combinação não trivial (nem todos os coeficientes são zero) que satisfaz a equação, isso significa que os vetores são linearmente dependentes.

Resposta

O conjunto de vetores , e em é linearmente dependente.

Exercícios relacionados