Em cada item, responda V (verdadeiro) ou F (falso), justificando a sua resposta:
S: R^2 longrightarrow R^3, definida por T(x, y)=(x, 0, x y), é uma transformação linear.

Passo 1

Vamos entender o que foi pedido no exercício. Temos uma função definida por . O tema aqui é transformação linear, que é um tipo especial de função que preserva algumas operações matemáticas básicas. Para resolver, vamos precisar verificar se satisfaz as propriedades que definem uma transformação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma função é dita linear se, para quaisquer vetores e em e para qualquer número real , as seguintes condições são verdadeiras:
  1. Adição:
  2. Multiplicação por escalar:
Essas propriedades garantem que a transformação “respeita” a estrutura linear do espaço vetorial.

Passo 3

Vamos verificar a primeira condição da linearidade: a adição.
Adição:
Sejam e . Então:
Agora, calculate :
Comparando os dois resultados:
Vemos que não é, em geral, igual a , a menos que ou ou ambos sejam zero. Portanto, a propriedade da adição não é satisfeita em geral.

Passo 4

Já que a primeira condição da linearidade não foi atendida, não precisamos verificar a segunda condição (multiplicação por escalar). Já concluímos que a função não é uma transformação linear.

Resposta

Falso. A função não é uma transformação linear porque não preserva a operação de adição, principalmente devido ao termo , que introduz uma não linearidade.

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