Em cada item, responda V (verdadeiro) ou F (falso), justificando a sua resposta:
, definida por
, é uma transformação linear.
Passo 1
Vamos entender o que foi pedido no exercício. Temos uma função
definida por
. O tema aqui é transformação linear, que é um tipo especial de função que preserva algumas operações matemáticas básicas. Para resolver, vamos precisar verificar se
satisfaz as propriedades que definem uma transformação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma função
é dita linear se, para quaisquer vetores
e
em
e para qualquer número real
, as seguintes condições são verdadeiras:
- Adição:
- Multiplicação por escalar:
Essas propriedades garantem que a transformação
“respeita” a estrutura linear do espaço vetorial.
Passo 3
Vamos verificar a primeira condição da linearidade: a adição.
Adição:
Sejam
e
. Então:
Agora, calculate
:
Comparando os dois resultados:
Vemos que
não é, em geral, igual a
, a menos que
ou
ou ambos sejam zero. Portanto, a propriedade da adição não é satisfeita em geral.
Passo 4
Já que a primeira condição da linearidade não foi atendida, não precisamos verificar a segunda condição (multiplicação por escalar). Já concluímos que a função
não é uma transformação linear.
Resposta
Falso. A função
não é uma transformação linear porque não preserva a operação de adição, principalmente devido ao termo
, que introduz uma não linearidade.
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e
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, definido por
Determine os autovalores e os autoespaços de
.