Provar que o triângulo de vértices A=(2,3,1), B=(2,1,-1) e C=(2,2,-2) é um triângulo retângulo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai mostrar que o triângulo formado pelos pontos , e é um triângulo retângulo. Isso está relacionado a geometria analítica, onde usamos coordenadas para estudar figuras geométricas no espaço.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é um triângulo retângulo. É um triângulo que tem um ângulo de 90 graus. Para provar isso, vamos calcular as distâncias entre os pontos , e e verificar se o Teorema de Pitágoras se aplica a eles.

Passo 3

Vamos calcular a distância entre os pontos usando a fórmula da distância no espaço tridimensional:
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2

Passo 4

Calculando a distância entre AB = raiz(2-2)^2 + (1-3)^2 + (-1-1)^2 = raiz0 + (-2)^2 + (-2)^2 = raiz0 + 4 + 4 = raiz8 e :

Passo 5

Calculando a distância entre AC = raiz(2-2)^2 + (2-3)^2 + (-2-1)^2 = raiz0 + (-1)^2 + (-3)^2 = raiz0 + 1 + 9 = raiz10 e :

Passo 6

Calculando a distância entre BC = raiz(2-2)^2 + (2-1)^2 + (-2-(-1))^2 = raiz0 + 1^2 + (-1)^2 = raiz0 + 1 + 1 = raiz2 e :

Passo 7

Agora, vamos verificar o Teorema de Pitágoras. Para que o triângulo seja retângulo, a soma dos quadrados de dois lados deve ser igual ao quadrado do terceiro lado.
Vamos testar as combinações:
AB^2 + BC^2 = (raiz8)^2 + (raiz2)^2 = 8 + 2 = 10
E
AC^2 = (raiz10)^2 = 10

Passo 8

Como , o triângulo satisfaz o Teorema de Pitágoras, ou seja, tem um ângulo reto.

Resposta

Portanto, o triângulo com vértices , e é um triângulo retângulo.

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