Provar que o triângulo de vértices e é um triângulo retângulo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai mostrar que o triângulo formado pelos pontos , e é um triângulo retângulo. Isso está relacionado a geometria analítica, onde usamos coordenadas para estudar figuras geométricas no espaço.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é um triângulo retângulo. É um triângulo que tem um ângulo de 90 graus. Para provar isso, vamos calcular as distâncias entre os pontos , e e verificar se o Teorema de Pitágoras se aplica a eles.

Passo 3

Vamos calcular a distância entre os pontos usando a fórmula da distância no espaço tridimensional:

Passo 4

Calculando a distância entre e :

Passo 5

Calculando a distância entre e :

Passo 6

Calculando a distância entre e :

Passo 7

Agora, vamos verificar o Teorema de Pitágoras. Para que o triângulo seja retângulo, a soma dos quadrados de dois lados deve ser igual ao quadrado do terceiro lado.
Vamos testar as combinações:
E

Passo 8

Como , o triângulo satisfaz o Teorema de Pitágoras, ou seja, tem um ângulo reto.

Resposta

Portanto, o triângulo com vértices , e é um triângulo retângulo.

Exercícios relacionados

Em cada item, responda V (verdadeiro) ou F (falso), justificando a sua resposta:
, definida por , é uma transformação linear.
Considere os pontos A=(1,0,-1), B=(-2,1,3), C=(1,1,1) e D=(-1,0,0).
(a) Calcule o volume do paralelepípedo de vértices A, B, C e D.
Considere o operador linear , definido por
Determine os autovalores e os autoespaços de .
Considere as transformações lineares e dadas por
Sejam (base do a base canônica do e (base do .
Determine e .