Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um operador linear definido por . A gente precisa encontrar os autovalores e os autoespaços desse operador. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente da parte que estuda autovalores e autovetores. Para resolver, vamos precisar calcular o polinômio característico e resolver uma equação determinante.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar os autovalores de , precisamos resolver a equação característica:
onde é o autovalor e é a matriz identidade.
Passo 3
Vamos montar a matriz . A matriz de é:
Subtraindo da diagonal principal:
Passo 4
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Expandindo o determinante, temos:
Simplificando:
Passo 5
Vamos resolver a equação:
Podemos fatorar :
Isso nos dá as soluções:
Resolvendo:
Como estamos trabalhando com , consideramos apenas os autovalores reais:
Passo 6
Agora, vamos encontrar o autoespaço correspondente a . Precisamos resolver :
Resolvendo o sistema homogêneo:
Todas as equações são equivalentes a . A terceira variável é livre.
Passo 7
Então, o autoespaço é formado por todos os vetores da forma:
Isso significa que o autoespaço é o espaço gerado pelos vetores e .
Resposta
O operador possui um autovalor real e o autoespaço associado é o conjunto de todos os vetores da forma , onde .