Considere o operador linear T: R^3 longrightarrow R^3, definido por
T(x, y, z)=(3 x-y,-x+3 y, 2 x-2 y+2 z)
Determine os autovalores e os autoespaços de T.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um operador linear definido por . A gente precisa encontrar os autovalores e os autoespaços desse operador. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente da parte que estuda autovalores e autovetores. Para resolver, vamos precisar calcular o polinômio característico e resolver uma equação determinante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar os autovalores de det(T - lambda I) = 0 , precisamos resolver a equação característica:
onde é o autovalor e é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos montar a matriz 3 & -1 & 0 -1 & 3 & 0 2 & -2 & 2 . A matriz de T - lambda I = 3 - lambda & -1 & 0 -1 & 3 - lambda & 0 2 & -2 & 2 - lambda é:
Subtraindo da diagonal principal:

Passo 4

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(T - lambda I) = 3 - lambda & -1 & 0 -1 & 3 - lambda & 0 2 & -2 & 2 - lambda
Expandindo o determinante, temos:
(3 - lambda)[(3 - lambda)(2 - lambda) - 0] - (-1)[(-1)(2 - lambda) - 0] + 0 = 0
Simplificando:
(3 - lambda)(3 - lambda)(2 - lambda) + (2 - lambda) = 0

Passo 5

Vamos resolver a equação:
(3 - lambda)^2 (2 - lambda) + (2 - lambda) = 0
Podemos fatorar (2 - lambda)[(3 - lambda)^2 + 1] = 0 :
2 - lambda = 0 ou (3 - lambda)^2 + 1 = 0
Isso nos dá as soluções:
lambda = 2 ou lambda = 3 pm i
Resolvendo:
lambda = 2
Como estamos trabalhando com , consideramos apenas os autovalores reais:

Passo 6

Agora, vamos encontrar o autoespaço correspondente a T - 2I = 1 & -1 & 0 -1 & 1 & 0 2 & -2 & 0 . Precisamos resolver x - y = 0 - x + y = 0 2x - 2y = 0 :
Resolvendo o sistema homogêneo:
Todas as equações são equivalentes a . A terceira variável é livre.

Passo 7

Então, o autoespaço é formado por todos os vetores da forma:
v = (y, y, z) = y(1, 1, 0) + z(0, 0, 1)
Isso significa que o autoespaço é o espaço gerado pelos vetores e .

Resposta

O operador possui um autovalor real e o autoespaço associado é o conjunto de todos os vetores da forma , onde .

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