Considere o operador linear , definido por
Determine os autovalores e os autoespaços de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um operador linear definido por . A gente precisa encontrar os autovalores e os autoespaços desse operador. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente da parte que estuda autovalores e autovetores. Para resolver, vamos precisar calcular o polinômio característico e resolver uma equação determinante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar os autovalores de , precisamos resolver a equação característica:
onde é o autovalor e é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos montar a matriz . A matriz de é:
Subtraindo da diagonal principal:

Passo 4

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Expandindo o determinante, temos:
Simplificando:

Passo 5

Vamos resolver a equação:
Podemos fatorar :
Isso nos dá as soluções:
Resolvendo:
Como estamos trabalhando com , consideramos apenas os autovalores reais:

Passo 6

Agora, vamos encontrar o autoespaço correspondente a . Precisamos resolver :
Resolvendo o sistema homogêneo:
Todas as equações são equivalentes a . A terceira variável é livre.

Passo 7

Então, o autoespaço é formado por todos os vetores da forma:
Isso significa que o autoespaço é o espaço gerado pelos vetores e .

Resposta

O operador possui um autovalor real e o autoespaço associado é o conjunto de todos os vetores da forma , onde .

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Provar que o triângulo de vértices e é um triângulo retângulo.
Em cada item, responda V (verdadeiro) ou F (falso), justificando a sua resposta:
, definida por , é uma transformação linear.
Considere as transformações lineares e dadas por
Sejam (base do a base canônica do e (base do .
Determine e .
Sejam A, B e C pontos em \mathbb{R}^{3}. Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso for falsa, dê um exemplo (não genérico, isto é, com valores reais totalmente determinados) de uma terna de pontos A, B e C que não satisfaz o enunciado.
(a) Se \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{A C}, então C=B ou |C|=|B|.