Prove que as diagonais de um quadrado são perpendiculares.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos provar que as diagonais de um quadrado se cruzam formando ângulos retos, ou seja, são perpendiculares. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria sobre quadrados e propriedades de diagonais.

Passo 2

Sabemos que um quadrado tem quatro lados iguais e todos os seus ângulos internos medem . As diagonais são os segmentos que ligam vértices opostos do quadrado.

Passo 3

Vamos considerar um quadrado com diagonais e . Queremos provar que o ângulo formado pela interseção das diagonais, , é de , onde é o ponto de interseção das diagonais.

Passo 4

Em um quadrado, as diagonais são congruentes, ou seja, têm o mesmo comprimento. Além disso, elas se bisecam, dividindo-se exatamente ao meio. Isso significa que e .

Passo 5

Como as diagonais se bisecam, os segmentos , , e são iguais. Portanto, os triângulos formados ( , , , ) são todos isósceles.

Passo 6

Nos triângulos isósceles formados pelas diagonais, os ângulos na base são iguais. Como todos esses triângulos são congruentes, os ângulos ao redor do ponto são iguais.

Passo 7

A soma dos ângulos ao redor de um ponto é . Como há quatro ângulos iguais no ponto , cada um mede .

Resposta

Portanto, as diagonais de um quadrado são perpendiculares.

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Considere a transformação linear , definida por .
Mostre que é um isomorfismo.
Sejam \vec{u}=(1,2,-1) e \vec{v}=(3,0,-1).
(b) Determine a projeção de \vec{u} sobre \vec{v}.
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Em cada item, responda V (verdadeiro) ou F (falso), justificando a sua resposta:
, definida por , é uma transformação linear.