Considere os pontos A=(1,0,-1), B=(-2,1,3), C=(1,1,1) e D=(-1,0,0).
(a) Calcule o volume do paralelepípedo de vértices A, B, C e D.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa calcular o volume do paralelepípedo formado pelos pontos A, B, C e D no espaço. Para isso, vamos usar conceitos de geometria vetorial, especificamente o produto misto. Precisamos definir três vetores que representam as arestas do paralelepípedo e, em seguida, calcular o produto misto desses vetores para encontrar o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos definir os vetores que formam as arestas do paralelepípedo. Vamos escolher o ponto A como ponto de referência. Então, os vetores serão:
= B - A =
= C - A =
= D - A =
Passo 3
Agora, vamos usar o produto misto para calcular o volume. O volume do paralelepípedo é dado pelo valor absoluto do produto misto dos três vetores:
Primeiro, precisamos calcular o produto vetorial , e depois fazer o produto escalar desse resultado com .
Passo 4
Vamos calcular o produto vetorial :
= i - 4j + 2k
= (1, -4, 2)
AB cdot (AC times AD) = (-3)(1) + (1)(-4) + (4)(2) = -3 - 4 + 8 = 1