Considere os pontos A=(1,0,-1), B=(-2,1,3), C=(1,1,1) e D=(-1,0,0).
(a) Calcule o volume do paralelepípedo de vértices A, B, C e D.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa calcular o volume do paralelepípedo formado pelos pontos A, B, C e D no espaço. Para isso, vamos usar conceitos de geometria vetorial, especificamente o produto misto. Precisamos definir três vetores que representam as arestas do paralelepípedo e, em seguida, calcular o produto misto desses vetores para encontrar o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos definir os vetores que formam as arestas do paralelepípedo. Vamos escolher o ponto A como ponto de referência. Então, os vetores serão:
  • = B - A =
  • = C - A =
  • = D - A =

Passo 3

Agora, vamos usar o produto misto para calcular o volume. O volume V = |AB cdot (AC times AD)| do paralelepípedo é dado pelo valor absoluto do produto misto dos três vetores:
Primeiro, precisamos calcular o produto vetorial , e depois fazer o produto escalar desse resultado com .

Passo 4

Vamos calcular o produto vetorial AC times AD = i & j & k 0 & 1 & 2 -2 & 0 & 1 = i(1 cdot 1 - 2 cdot 0) - j(0 cdot 1 - 2 cdot (-2)) + k(0 cdot 0 - 1 cdot (-2)) :
= i(1) - j(0 + 4) + k(0 + 2)
= i - 4j + 2k
= (1, -4, 2)
AB cdot (AC times AD) = (-3)(1) + (1)(-4) + (4)(2) = -3 - 4 + 8 = 1
Agora, fazemos o produto escalar com :

Resposta

O volume do paralelepípedo é 1 unidade cúbica.

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