Considere os vetores \vec{u}=(1,0,-1) e \vec{v}=(0,3,3).
(b) Calcule \vec{u} \times \vec{v}.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular o produto vetorial ( ) dos vetores e . Para isso, vamos precisar usar o conceito de produto vetorial da matéria de Álgebra Vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto vetorial. O produto vetorial entre dois vetores no espaço tridimensional resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores iniciais. A fórmula para calcular u times v = i & j & k u1 & u2 & u3 v1 & v2 & v3 é:
Onde , e são os vetores unitários nas direções dos eixos , e , respectivamente.

Passo 3

Vamos montar a matriz determinante com os componentes dos vetores u times v = i & j & k 1 & 0 & -1 0 & 3 & 3 e :

Passo 4

Calculamos o determinante expandindo pela primeira linha:
u times v = i cdot 0 & -1 3 & 3 - j cdot 1 & -1 0 & 3 + k cdot 1 & 0 0 & 3

Passo 5

Agora, vamos calcular cada um dos menores determinantes:
  1. Para 0 & -1 3 & 3 = (0 cdot 3) - (-1 cdot 3) = 0 + 3 = 3 :
1 & -1 0 & 3 = (1 cdot 3) - (-1 cdot 0) = 3 - 0 = 3
  1. Para 1 & 0 0 & 3 = (1 cdot 3) - (0 cdot 0) = 3 - 0 = 3 :
  1. Para :

Passo 6

Substituindo esses valores na expressão original:
u times v = i cdot 3 - j cdot 3 + k cdot 3

Passo 7

Isso resulta no vetor:
u times v = (3, -3, 3)

Resposta

O produto vetorial de e é .

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