Em cada item são dadas as equações das retas concorrentes r e s. Determine o ângulo agudo theta formado por elas.
(a) r: y=-2 x+3 e s: y=3 x-7

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas retas que se cruzam:
  • Reta :
  • Reta :
A gente precisa encontrar o ângulo agudo que essas duas retas formam quando se cruzam. Para isso, vamos usar um pouco de geometria analítica.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes angulares das duas retas. O coeficiente angular, que vem sendo representado por nas equações das retas, nos diz a inclinação da reta.
  • Para a reta , a equação é . Aqui, o coeficiente angular é -2.
  • Para a reta , a equação é . Aqui, o coeficiente angular é 3.

Passo 3

Agora que temos os coeficientes angulares ( tan theta = | ms - mr1 + mr cdot ms | e ), vamos usar a fórmula do ângulo entre duas retas. A fórmula é:
Essa fórmula nos dá o valor do tangente do ângulo entre as retas. O valor absoluto é usado para garantir que o ângulo seja positivo.

Passo 4

Vamos substituir os valores dos coeficientes angulares na fórmula:
tan theta = | 3 - (-2)1 + (-2) cdot 3 | = | 3 + 21 - 6 | = | 5-5 | = | -1 | = 1
Então, temos que .

Passo 5

Agora, para encontrar o ângulo theta = arctan(1) , precisamos calcular o arco-tangente de 1. Sabemos que:
E sabemos que .

Resposta

O ângulo agudo formado pelas retas e é 45 graus.

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