Calcule a altura do trapézio cujos vértices são A=(-1,-3), B=(6,-2), C=(5,2) e D= (-9,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um trapézio com os vértices nos pontos , , e . Nosso objetivo é descobrir qual é a altura desse trapézio. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como cálculo de inclinação de retas e distância entre retas paralelas.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar quais lados do trapézio são as bases, ou seja, as retas paralelas. Para isso, vamos calcular a inclinação de cada lado usando a fórmula da inclinação entre dois pontos m = y2 - y1x2 - x1 e mAB = -2 - (-3)6 - (-1) = 17 :
mBC = 2 - (-2)5 - 6 = 4-1 = -4
Vamos calcular a inclinação de cada lado:
  • Lado AB entre mCD = 0 - 2-9 - 5 = -2-14 = 17 e mDA = -3 - 0-1 - (-9) = -38 = -38 :
  • Lado BC entre e :
  • Lado CD entre e :
  • Lado DA entre e :

Passo 3

Observando as inclinações calculadas:
Isso significa que os lados AB e CD são paralelos, já que têm a mesma inclinação. Portanto, AB e CD são as bases do trapézio.

Passo 4

Agora, precisamos calcular a altura do trapézio, que é a distância perpendicular entre as duas bases paralelas AB e CD. Para isso, vamos usar a fórmula da distância entre duas retas paralelas.
Primeiro, vamos determinar a equação de uma das retas. Vamos usar a reta AB. Com a inclinação y - y1 = m(x - x1) e passando pelo ponto y - (-3) = 17(x - (-1)) y + 3 = 17(x + 1) y = 17x + 17 - 3 y = 17x - 207 , a equação da reta AB é:
d = |c2 - c1|raiz1 + m^2
Substituindo os valores:
2 = 17(5) + c 2 = 57 + c c = 2 - 57 = 147 - 57 = 97
A equação da reta AB é d = | 97 - (-207) |raiz1 + (17)^2 = | 297 |raiz1 + 149 = 297raiz5049 = 297raiz507 = 29raiz50 = 295raiz2 = 29raiz210 .
Agora, vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos e transformar para a distância entre duas retas paralelas. A fórmula da distância entre duas retas paralelas e é:
Para a reta CD, vamos encontrar o valor de . Sabemos que e passa pelo ponto :
Então, a equação da reta CD é .
Agora, usando a fórmula da distância:

Resposta

A altura do trapézio é unidades.

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