Determine o ângulo entre os planos x-y+2 z=6 e 2 x+3 y-z=4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o ângulo entre dois planos: e . A matéria que vamos usar aqui é a geometria analítica, especificamente o conceito de ângulo entre planos. Para resolver isso, a gente vai precisar saber como encontrar os vetores normais dos planos e usar a fórmula que relaciona esses vetores para determinar o ângulo entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores normais de cada plano. O vetor normal de um plano é dado pelos coeficientes de , e na equação do plano.
  • Para o primeiro plano , o vetor normal é .
  • Para o segundo plano , o vetor normal é .

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula para encontrar o ângulo cos theta = n1 cdot n2 | n1 | cdot | n2 | entre os dois vetores normais. A fórmula é:
Aqui, é o produto escalar dos vetores, e e são os módulos (ou magnitudes) dos vetores.

Passo 4

Vamos calcular cada parte dessa fórmula:
  1. Produto escalar (1)(2) + (-1)(3) + (2)(-1) = 2 - 3 - 2 = -3 :
| n1 | = raiz1^2 + (-1)^2 + 2^2 = raiz1 + 1 + 4 = raiz6
  1. Módulo de | n2 | = raiz2^2 + 3^2 + (-1)^2 = raiz4 + 9 + 1 = raiz14 :
cos theta = -3 raiz6 cdot raiz14 = -3 raiz84 = -3 2raiz21
  1. Módulo de theta = arccos( -3 2raiz21 ) approx 106,26^circ :
  1. Substituindo na fórmula:
  1. Calculando o ângulo :

Resposta

O ângulo entre os planos é aproximadamente .

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