Reduza a equação a forma canônica, identifique a cônica e determine a equação paramétrica da curva abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nessa equação que a gente tem:
O que precisamos fazer aqui é três coisas:
  1. Reduzir a equação para a forma canônica: Isso significa reescrever a equação de uma maneira mais simples, onde a gente consegue identificar mais facilmente que tipo de cônica estamos lidando.
  2. Identificar a cônica: A cônica pode ser uma circunferência, parábola, elipse ou hipérbole.
  3. Determinar a equação paramétrica da curva: Vamos encontrar uma maneira de expressar e em termos de um parâmetro, geralmente , que descreve todos os pontos da curva.
Para fazer isso, vamos precisar usar completar o quadrado, que é uma técnica matemática para transformar expressões quadráticas em uma forma que revela suas propriedades geométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação agrupando os termos de e os termos de :
Isso facilita o processo de completar o quadrado para cada variável.

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de e, em seguida, para os termos de .
Para :
  • Fatoramos o coeficiente de :
  • Agora, completamos o quadrado dentro do parêntese. A fórmula para completar o quadrado de é .
  • Aqui, , então:
  • Substituindo de volta:
Para :
  • Observe que temos , então vamos fatorar o sinal:
  • Completa o quadrado para . Aqui, , então:
  • Substituindo de volta:

Passo 4

Agora, vamos substituir essas expressões de volta na equação original:
Simplificando os termos constantes:
Adicionando 27 a ambos os lados para isolar os termos quadráticos:

Passo 5

Para facilitar a identificação da cônica, vamos dividir todos os termos por :
Simplificando as frações:
Multiplicando ambos os lados por para deixar a equação mais convencional:

Passo 6

Agora, a equação está na forma canônica:
Onde é o centro da cônica.
Comparando com nossa equação:
Podemos ver que o centro é .

Passo 7

Identificando a cônica, vemos que temos uma diferença de quadrados com o termo de positivo e o de negativo. Isso caracteriza uma hipérbole.
Além disso, como o termo positivo está com , a hipérbole abre para cima e para baixo.

Passo 8

Para encontrar as equações paramétricas da hipérbole, usamos as seguintes fórmulas gerais para uma hipérbole que abre verticalmente:
Onde:
  • é o centro,
  • (pois ),
  • (pois ),
  • é o parâmetro.
Então, substituindo os valores:

Resposta

A forma canônica da equação é
A cônica correspondente é uma hipérbole, e as equações paramétricas da hipérbole são

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