Reduza a equação a forma canônica, identifique a cônica e determine a equação paramétrica da curva abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nessa equação que a gente tem:
O que precisamos fazer aqui é três coisas:
- Reduzir a equação para a forma canônica: Isso significa reescrever a equação de uma maneira mais simples, onde a gente consegue identificar mais facilmente que tipo de cônica estamos lidando.
- Identificar a cônica: A cônica pode ser uma circunferência, parábola, elipse ou hipérbole.
- Determinar a equação paramétrica da curva: Vamos encontrar uma maneira de expressar
e em termos de um parâmetro, geralmente , que descreve todos os pontos da curva.
Para fazer isso, vamos precisar usar completar o quadrado, que é uma técnica matemática para transformar expressões quadráticas em uma forma que revela suas propriedades geométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação agrupando os termos de
e os termos de
:
Isso facilita o processo de completar o quadrado para cada variável.
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
e, em seguida, para os termos de
.
Para
:
- Fatoramos o coeficiente de
:
-
Agora, completamos o quadrado dentro do parêntese. A fórmula para completar o quadrado de
é . -
Aqui,
, então:
- Substituindo de volta:
Para
:
- Observe que temos
, então vamos fatorar o sinal:
- Completa o quadrado para
. Aqui, , então:
- Substituindo de volta:
Passo 4
Agora, vamos substituir essas expressões de volta na equação original:
Simplificando os termos constantes:
Adicionando 27 a ambos os lados para isolar os termos quadráticos:
Passo 5
Para facilitar a identificação da cônica, vamos dividir todos os termos por
:
Simplificando as frações:
Multiplicando ambos os lados por
para deixar a equação mais convencional:
Passo 6
Agora, a equação está na forma canônica:
Onde
é o centro da cônica.
Comparando com nossa equação:
Podemos ver que o centro é
.
Passo 7
Identificando a cônica, vemos que temos uma diferença de quadrados com o termo de
positivo e o de
negativo. Isso caracteriza uma hipérbole.
Além disso, como o termo positivo está com
, a hipérbole abre para cima e para baixo.
Passo 8
Para encontrar as equações paramétricas da hipérbole, usamos as seguintes fórmulas gerais para uma hipérbole que abre verticalmente:
Onde:
-
é o centro, -
(pois ), -
(pois ), -
é o parâmetro.
Então, substituindo os valores:
Resposta
A forma canônica da equação é
A cônica correspondente é uma hipérbole, e as equações paramétricas da hipérbole são
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e
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(a) e
(a)
Calcule o ângulo entre os planos
e
.
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Hipérbole com focos em e
e o eixo real medindo 6 .
Hipérbole com focos em