Responda as questōes abaixo:
Como verificar se dois espaços vetoriais são isomorfos?
Como verificar se dois espaços vetoriais são isomorfos?
Passo 1
Beleza, a pergunta é sobre como verificar se dois espaços vetoriais são isomorfos. Isso está na área de álgebra linear, especificamente no estudo de estruturas e transformações entre espaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa ser isomorfo e como comparar as dimensões dos espaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um isomorfismo entre espaços vetoriais. Dois espaços vetoriais
e
são isomorfos se existe uma aplicação linear
que é bijetora. Isso significa que
é linear, injetora (não tem dois vetores diferentes de
que mapeiam para o mesmo vetor em
) e sobrejetora (cobre todo
).
Passo 3
Agora, por que isso é importante? Porque se existe uma aplicação linear bijetora entre
e
, então os dois espaços têm a mesma “estrutura” em termos de vetores e operações vetoriais. Isso nos leva a um critério mais simples para verificar o isomorfismo: verificar se os dois espaços vetoriais têm a mesma dimensão.
Passo 4
A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em uma base desse espaço. Ou seja, é o número mínimo de vetores necessários para gerar todo o espaço por combinações lineares. Se dois espaços vetoriais têm a mesma dimensão, então eles são isomorfos.
Resposta
Dois espaços vetoriais são isomorfos se e somente se tiverem a mesma dimensão.
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Em cada item são dadas as equações das retas concorrentes
e
. Determine o ângulo agudo
formado por elas.
(a) e
(a)
Determine o ângulo entre os planos
e
.
Reduza a equação a forma canônica, identifique a cônica e determine a equação paramétrica da curva abaixo:
Calcule o ângulo entre os planos
e
.