Em cada item são dadas as equações das retas concorrentes r e s. Determine o ângulo agudo theta formado por elas.
(b) r: y=-raiz3 x+2 e s: y=raiz3 x+4

Passo 1

Vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos duas equações de retas:
r: y = -raiz3x + 2
s: y = raiz3x + 4
Estamos procurando determinar o ângulo agudo formado por essas duas retas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula que relaciona os coeficientes angulares das retas com o ângulo entre elas.

Passo 2

Primeiro, identificamos os coeficientes angulares das retas e . Na equação da reta na forma , representa o coeficiente angular.
  • Para a reta :
  • Para a reta :

Passo 3

Vamos utilizar a fórmula para calcular o ângulo entre duas retas com coeficientes angulares tantheta = | m2 - m11 + m1 m2 | e :

Passo 4

Substituímos os valores de tantheta = | raiz3 - (-raiz3)1 + (-raiz3)(raiz3) | e na fórmula:

Passo 5

Vamos calcular o numerador e o denominador separadamente:
Numerador:
raiz3 - (-raiz3) = 2raiz3
Denominador:
1 + (-raiz3)(raiz3) = 1 - 3 = -2

Passo 6

Substituímos os valores calculados na expressão da tangente:
tantheta = | 2raiz3-2 | = | -raiz3 | = raiz3

Passo 7

Agora, precisamos encontrar o ângulo cujo valor da tangente é tan60^circ = raiz3 . Sabemos que:
theta = 60^circ
Portanto, o ângulo é:

Resposta

O ângulo agudo formado pelas retas e é .

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