Seja a transformação linear definida por . Responda às questões abaixo:
Determine supondo fixadas as bases em sendo e em sendo a base .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma transformação linear definida por . A gente precisa encontrar a matriz dessa transformação relativa às bases dadas:
Em , a base
Em , a base
Para resolver isso, vamos precisar entender como representar transformações lineares em diferentes bases e usar a representação matricial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a matriz da transformação vai ter colunas que são as coordenadas dos vetores imagem dos vetores da base em relação à base .
Ou seja, se e são os vetores da base , precisamos calcular e e depois expressar esses resultados na base .
Passo 3
Vamos começar calculando e . Os vetores da base são e .
Aplicando :
Passo 4
Agora, precisamos expressar esses vetores e na base . Ou seja, queremos encontrar os coeficientes tais que:
E o mesmo para :
Vamos resolver esses sistemas para encontrar os coeficientes.
Passo 5
Primeiro, para :
Resolvendo:
Da primeira equação: =>
Substituindo na terceira equação:
Agora, da segunda equação:
Logo,
Então, as coordenadas de na base são .
Passo 6
Agora, para :
Resolvendo:
Da primeira equação: =>
Substituindo na terceira equação:
Agora, da segunda equação:
Logo,
Então, as coordenadas de na base são .
Passo 7
Agora que temos as coordenadas dos vetores imagem na base , podemos montar a matriz colocando esses vetores como colunas: