Seja T: R^2 R^3 a transformação linear definida por T(x, y)=(-x+3 y, x, 2 x+y). Responda às questões abaixo:
Determine [T]B^A supondo fixadas as bases em R^2 sendo (-1,1),(1,1) e em R^3 sendo a base (1,0,1),(1,2,1),(0,-1,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma transformação linear definida por . A gente precisa encontrar a matriz dessa transformação relativa às bases dadas:
  • Em , a base
  • Em , a base
Para resolver isso, vamos precisar entender como representar transformações lineares em diferentes bases e usar a representação matricial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a matriz da transformação vai ter colunas que são as coordenadas dos vetores imagem dos vetores da base em relação à base .
Ou seja, se e são os vetores da base , precisamos calcular e e depois expressar esses resultados na base .

Passo 3

Vamos começar calculando T(v1) = T(-1, 1) = (-(-1) + 3 cdot 1, -1, 2 cdot (-1) + 1) = (1 + 3, -1, -2 + 1) = (4, -1, -1) e T(v2) = T(1, 1) = (-(1) + 3 cdot 1, 1, 2 cdot 1 + 1) = (-1 + 3, 1, 2 + 1) = (2, 1, 3) . Os vetores da base são e .
Aplicando :

Passo 4

Agora, precisamos expressar esses vetores T(v1) = c1 cdot (1,0,1) + c2 cdot (1,2,1) + c3 cdot (0,-1,1) e T(v2) = d1 cdot (1,0,1) + d2 cdot (1,2,1) + d3 cdot (0,-1,1) na base . Ou seja, queremos encontrar os coeficientes tais que:
E o mesmo para :
Vamos resolver esses sistemas para encontrar os coeficientes.

Passo 5

Primeiro, para c1 + c2 + 0 cdot c3 = 4 0 cdot c1 + 2c2 - c3 = -1 c1 + c2 + c3 = -1 :
(4 - c2) + c2 + c3 = -1 Rightarrow 4 + c3 = -1 Rightarrow c3 = -5
Resolvendo:
Da primeira equação: 2c2 - (-5) = -1 Rightarrow 2c2 + 5 = -1 Rightarrow 2c2 = -6 Rightarrow c2 = -3 => 7 -3 -5
Substituindo na terceira equação:
Agora, da segunda equação:
Logo,
Então, as coordenadas de na base são .

Passo 6

Agora, para d1 + d2 + 0 cdot d3 = 2 0 cdot d1 + 2d2 - d3 = 1 d1 + d2 + d3 = 3 :
(2 - d2) + d2 + d3 = 3 Rightarrow 2 + d3 = 3 Rightarrow d3 = 1
Resolvendo:
Da primeira equação: 2d2 - 1 = 1 Rightarrow 2d2 = 2 Rightarrow d2 = 1 => 1 1 1
Substituindo na terceira equação:
Agora, da segunda equação:
Logo,
Então, as coordenadas de na base são .

Passo 7

Agora que temos as coordenadas dos vetores imagem na base [T]B^A = 7 & 1 -3 & 1 -5 & 1 , podemos montar a matriz colocando esses vetores como colunas:

Resposta

A matriz da transformação [T]B^A = ,7 & 1,, -3 & 1,, -5 & 1, nas bases e é:

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