Seja a transformação linear definida por . Responda às questões abaixo:
Determine supondo fixadas as bases em sendo e em sendo a base .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma transformação linear definida por . A gente precisa encontrar a matriz dessa transformação relativa às bases dadas:
  • Em , a base
  • Em , a base
Para resolver isso, vamos precisar entender como representar transformações lineares em diferentes bases e usar a representação matricial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a matriz da transformação vai ter colunas que são as coordenadas dos vetores imagem dos vetores da base em relação à base .
Ou seja, se e são os vetores da base , precisamos calcular e e depois expressar esses resultados na base .

Passo 3

Vamos começar calculando e . Os vetores da base são e .
Aplicando :

Passo 4

Agora, precisamos expressar esses vetores e na base . Ou seja, queremos encontrar os coeficientes tais que:
E o mesmo para :
Vamos resolver esses sistemas para encontrar os coeficientes.

Passo 5

Primeiro, para :
Resolvendo:
Da primeira equação: =>
Substituindo na terceira equação:
Agora, da segunda equação:
Logo,
Então, as coordenadas de na base são .

Passo 6

Agora, para :
Resolvendo:
Da primeira equação: =>
Substituindo na terceira equação:
Agora, da segunda equação:
Logo,
Então, as coordenadas de na base são .

Passo 7

Agora que temos as coordenadas dos vetores imagem na base , podemos montar a matriz colocando esses vetores como colunas:

Resposta

A matriz da transformação nas bases e é:

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Determine o ângulo entre os planos e .
Considere o ponto e a reta .
Determine a projeção ortogonal do ponto sobre a reta .
Verifique se os planos e são paralelos.
Em cada item são dadas as equações das retas concorrentes e . Determine o ângulo agudo formado por elas.
(b) e