Em cada item são dados um conjunto
e uma relação
em
: (
e
);
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que foi pedido. Temos um conjunto
e uma relação
definida como
. Nosso objetivo aqui é entender essa relação
e analisar algumas de suas propriedades. Para isso, vamos precisar conhecer conceitos básicos de teoria dos conjuntos e noções sobre o máximo divisor comum (mdc).
Passo 2
Primeiro, vamos listar todos os pares de elementos de
que pertencem à relação
. Isso significa que precisamos encontrar todas as combinações de
e
em
onde o mdc de
e
é 1, ou seja, eles são coprimos.
Passo 3
Vamos calcular o mdc para cada par:
-
→ Não está em -
→ Está em -
→ Não está em -
→ Está em -
→ Está em -
→ Não está em -
→ Está em -
→ Está em -
→ Não está em -
→ Está em -
→ Não está em -
→ Está em -
→ Está em -
→ Está em -
→ Está em -
→ Não está em
Passo 4
Com base nesses cálculos, podemos listar a relação
completa:
Passo 5
Agora, vamos analisar algumas propriedades dessa relação
:
-
Reflexiva: Uma relação é reflexiva se todo elemento está relacionado consigo mesmo. Ou seja, para todo
, . -
Observando
, vemos que não estão em porque , que é maior que 1 para todos os elementos de . -
Conclusão:
não é reflexiva.
-
-
Simétrica: Uma relação é simétrica se sempre que
, então . -
Observando
, vemos que todos os pares têm seus inversos também em . Por exemplo, e estão ambos em . -
Conclusão:
é simétrica.
-
-
Transitiva: Uma relação é transitiva se sempre que
e , então . -
Vamos verificar alguns casos:
-
e estão em . Deveríamos ter em , mas , então não está em .
-
-
Conclusão:
não é transitiva.
-
Passo 6
Com base nas análises acima, podemos resumir que a relação
não possui todas as propriedades de uma relação de equivalência (que requer reflexividade, simetria e transitividade). No entanto, ela é simétrica.
Resposta
A relação
definida em
é
. Ela não é reflexiva nem transitiva, mas é simétrica.
Exercícios relacionados
Calcule a função inversa
de cada função abaixo:
Para cada função abaixo, determine ou calcule:
-amplitude;
-período;
-frequência;
-a diferença de fase em relação a ;
-deslocamento vertical em relação a
-esboce o gráfico;
-amplitude;
-período;
-frequência;
-a diferença de fase em relação a
-deslocamento vertical em relação a
-esboce o gráfico;
Dadas as funções
e
, calcule
:
Esboçe o gráfico das funções abaixo: