Em cada item são dados um conjunto A e uma relação R em A: ( A = {2, 3, 4, 5} e R = {(a, b) em A x A | mdc(a, b) = 1});

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que foi pedido. Temos um conjunto e uma relação definida como . Nosso objetivo aqui é entender essa relação e analisar algumas de suas propriedades. Para isso, vamos precisar conhecer conceitos básicos de teoria dos conjuntos e noções sobre o máximo divisor comum (mdc).

Passo 2

Primeiro, vamos listar todos os pares de elementos de que pertencem à relação . Isso significa que precisamos encontrar todas as combinações de e em onde o mdc de e é 1, ou seja, eles são coprimos.

Passo 3

Vamos calcular o mdc para cada par:
  • → Não está em
  • → Está em
  • → Não está em
  • → Está em
  • → Está em
  • → Não está em
  • → Está em
  • → Está em
  • → Não está em
  • → Está em
  • → Não está em
  • → Está em
  • → Está em
  • → Está em
  • → Está em
  • → Não está em

Passo 4

Com base nesses cálculos, podemos listar a relação completa:

Passo 5

Agora, vamos analisar algumas propriedades dessa relação :
  1. Reflexiva: Uma relação é reflexiva se todo elemento está relacionado consigo mesmo. Ou seja, para todo , .
    • Observando , vemos que não estão em porque , que é maior que 1 para todos os elementos de .
    • Conclusão: não é reflexiva.
  2. Simétrica: Uma relação é simétrica se sempre que , então .
    • Observando , vemos que todos os pares têm seus inversos também em . Por exemplo, e estão ambos em .
    • Conclusão: é simétrica.
  3. Transitiva: Uma relação é transitiva se sempre que e , então .
    • Vamos verificar alguns casos:
      • e estão em . Deveríamos ter em , mas , então não está em .
    • Conclusão: não é transitiva.

Passo 6

Com base nas análises acima, podemos resumir que a relação não possui todas as propriedades de uma relação de equivalência (que requer reflexividade, simetria e transitividade). No entanto, ela é simétrica.

Resposta

A relação definida em é . Ela não é reflexiva nem transitiva, mas é simétrica.

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