Em cada item a seguir, determine se é diagonalizável.
(0,5) (b) , onde é o operador linear dado por em relação à base canônica .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é para determinar se a matriz , que representa o operador linear dado por na base canônica, é diagonalizável. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como autovalores, autovetores e a diagonalização de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz que representa o operador na base canônica. O operador transforma o vetor em . Então, a matriz fica assim:

Passo 3

Agora, para verificar se é diagonalizável, precisamos encontrar seus autovalores. Autovalores são valores de que satisfazem a equação característica:
Onde é a matriz identidade. Vamos calcular:
O determinante dessa matriz é:
Então, a equação característica é:

Passo 4

Resolvendo a equação característica, encontramos os autovalores:
Cada autovalor tem multiplicidade algébrica 1, já que cada fator aparece uma vez na equação característica.

Passo 5

Para a matriz ser diagonalizável, a multiplicidade geométrica de cada autovalor (o número de autovetores independentes) deve ser igual à sua multiplicidade algébrica. Vamos verificar isso para cada autovalor.
Para :
Encontramos os autovetores resolvendo :
Isso nos dá o sistema:
Da segunda equação, . A primeira equação já é satisfeita. Então, os autovetores correspondentes são da forma , onde pode ser qualquer número real. Isso significa que há um único autovetor (up to scalar multiples) para , correspondendo à multiplicidade geométrica 1.
Para :
Resolvemos :
O sistema fica:
Da primeira equação, . Então, os autovetores são da forma , ou simplificando, , onde é qualquer número real. Assim, também há um único autovetor para , com multiplicidade geométrica 1.

Passo 6

Como para cada autovalor a multiplicidade geométrica é igual à multiplicidade algébrica (cada um tem multiplicidade 1), a matriz é diagonalizável. Isso significa que existe uma matriz invertível tal que é uma matriz diagonal.

Resposta

Sim, a matriz é diagonalizável.

Exercícios relacionados

Encontre a equação canônica de cada cônica por rotação/translação de eixos e identifique-a.
Sejam e a matriz dada por:
A matriz é diagonalizável se, e só se:
(a)
(b)
© e
(d)
(e) ou
Encontre a equação canônica de cada cônica por rotação/translação de eixos e identifique-a.
Encontre a equação canônica de cada cônica por rotação/translação de eixos e identifique-a.