Em cada item a seguir, determine se
é diagonalizável.
(0,5) (b)
, onde
é o operador linear dado por
em relação à base canônica
.
(0,5) (b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é para determinar se a matriz
, que representa o operador linear
dado por
na base canônica, é diagonalizável. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como autovalores, autovetores e a diagonalização de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz
que representa o operador
na base canônica. O operador
transforma o vetor
em
. Então, a matriz
fica assim:
Passo 3
Agora, para verificar se
é diagonalizável, precisamos encontrar seus autovalores. Autovalores são valores de
que satisfazem a equação característica:
Onde
é a matriz identidade. Vamos calcular:
O determinante dessa matriz é:
Então, a equação característica é:
Passo 4
Resolvendo a equação característica, encontramos os autovalores:
Cada autovalor tem multiplicidade algébrica 1, já que cada fator aparece uma vez na equação característica.
Passo 5
Para a matriz ser diagonalizável, a multiplicidade geométrica de cada autovalor (o número de autovetores independentes) deve ser igual à sua multiplicidade algébrica. Vamos verificar isso para cada autovalor.
Para
:
Encontramos os autovetores resolvendo
:
Isso nos dá o sistema:
Da segunda equação,
. A primeira equação já é satisfeita. Então, os autovetores correspondentes são da forma
, onde
pode ser qualquer número real. Isso significa que há um único autovetor (up to scalar multiples) para
, correspondendo à multiplicidade geométrica 1.
Para
:
Resolvemos
:
O sistema fica:
Da primeira equação,
. Então, os autovetores são da forma
, ou simplificando,
, onde
é qualquer número real. Assim, também há um único autovetor para
, com multiplicidade geométrica 1.
Passo 6
Como para cada autovalor a multiplicidade geométrica é igual à multiplicidade algébrica (cada um tem multiplicidade 1), a matriz
é diagonalizável. Isso significa que existe uma matriz invertível
tal que
é uma matriz diagonal.
Resposta
Sim, a matriz
é diagonalizável.