Em cada item a seguir, determine se A é diagonalizável.
(0,5) (b) A=[T]alpha^alpha, onde T é o operador linear dado por T(x, y)=(2 x+2 y, y) em relação à base canônica alpha.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é para determinar se a matriz , que representa o operador linear dado por na base canônica, é diagonalizável. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como autovalores, autovetores e a diagonalização de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz A = 2 & 2 0 & 1 que representa o operador na base canônica. O operador transforma o vetor em . Então, a matriz fica assim:

Passo 3

Agora, para verificar se det(A - lambda I) = 0 é diagonalizável, precisamos encontrar seus autovalores. Autovalores são valores de A - lambda I = 2 - lambda & 2 0 & 1 - lambda que satisfazem a equação característica:
det(A - lambda I) = (2 - lambda)(1 - lambda) - (0)(2) = (2 - lambda)(1 - lambda)
Onde (2 - lambda)(1 - lambda) = 0 é a matriz identidade. Vamos calcular:
O determinante dessa matriz é:
Então, a equação característica é:

Passo 4

Resolvendo a equação característica, encontramos os autovalores:
lambda1 = 2 e lambda2 = 1
Cada autovalor tem multiplicidade algébrica 1, já que cada fator aparece uma vez na equação característica.

Passo 5

Para a matriz ser diagonalizável, a multiplicidade geométrica de cada autovalor (o número de autovetores independentes) deve ser igual à sua multiplicidade algébrica. Vamos verificar isso para cada autovalor.
Para A - 2I = 0 & 2 0 & -1 :
Encontramos os autovetores resolvendo 0x + 2y = 0 0x - y = 0 :
A - I = 1 & 2 0 & 0
Isso nos dá o sistema:
x + 2y = 0 0 = 0
Da segunda equação, . A primeira equação já é satisfeita. Então, os autovetores correspondentes são da forma , onde pode ser qualquer número real. Isso significa que há um único autovetor (up to scalar multiples) para , correspondendo à multiplicidade geométrica 1.
Para :
Resolvemos :
O sistema fica:
Da primeira equação, . Então, os autovetores são da forma , ou simplificando, , onde é qualquer número real. Assim, também há um único autovetor para , com multiplicidade geométrica 1.

Passo 6

Como para cada autovalor a multiplicidade geométrica é igual à multiplicidade algébrica (cada um tem multiplicidade 1), a matriz é diagonalizável. Isso significa que existe uma matriz invertível tal que é uma matriz diagonal.

Resposta

Sim, a matriz é diagonalizável.

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