Encontre a equação canônica de cada cônica por rotação/translação de eixos e identifique-a. 3 x^2+2 x y+3 y^2-6 x-6 y+1=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica que fala sobre seções cônicas. A gente precisa encontrar a equação canônica da equação dada usando rotação e/ou translação de eixos. Pra isso, vamos precisar entender como mudar o sistema de coordenadas para simplificar a equação e identificar que tipo de cônica estamos lidando. A equação que vamos trabalhar é:
3x^2+2xy+3y^2-6x-6y+1=0

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a presença do termo na equação. Esse termo indica que os eixos da cônica estão rotacionados em relação aos eixos coordenados padrão. Nosso objetivo é eliminar esse termo para facilitar a identificação da cônica.

Passo 3

Para eliminar o termo tan(2theta) = BA - C, precisamos encontrar o ângulo de rotação tan(2theta) = 23 - 3 = 20 que vai alinhar os eixos da cônica com os eixos coordenados. A fórmula para encontrar esse ângulo é:
Onde:
  • , , e são os coeficientes da equação geral da segunda grau .
No nosso caso, , , e . Substituindo na fórmula:
Isso significa que tende ao infinito, ou seja, , então .

Passo 4

Agora que temos o ângulo de rotação, vamos aplicar a mudança de coordenadas utilizando as fórmulas de rotação:
x = x'costheta - y'sintheta y = x'sintheta + y'costheta
Com x = raiz22x' - raiz22y' y = raiz22x' + raiz22y' , sabemos que . Substituindo na mudança de coordenadas:

Passo 5

Vamos substituir 3(raiz22x' - raiz22y')^2 + 2(raiz22x' - raiz22y')(raiz22x' + raiz22y') + 3(raiz22x' + raiz22y')^2 - 6(raiz22x' - raiz22y') - 6(raiz22x' + raiz22y') + 1 = 0 e na equação original pela mudança de coordenadas:
Isso vai dar uma equação sem o termo , facilitando a identificação da cônica.

Passo 6

Após desenvolver os termos e simplificar, vamos obter uma equação na forma:
Ax'^2 + Cy'^2 + Dx' + Ey' + F = 0
Esse formato nos ajuda a identificar o tipo de cônica e a determinar seu centro e parâmetros principais.

Passo 7

Para encontrar o centro da cônica, usamos as derivadas parciais em relação a partialpartial x'(Ax'^2 + Cy'^2 + Dx' + Ey' + F) = 0 partialpartial y'(Ax'^2 + Cy'^2 + Dx' + Ey' + F) = 0 e e igualamos a zero:
Resolvendo essas equações, encontramos as coordenadas do centro .

Resposta

Após realizar as rotações e translações necessárias, a equação canônica da cônica é:
(x' - 1)^2 + (y' - 1)^2 = 2
Isso representa uma circunferência com centro em e raio .

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