Encontre a equação canônica de cada cônica por rotação/translação de eixos e identifique-a.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica que fala sobre seções cônicas. A gente precisa encontrar a equação canônica da equação dada usando rotação e/ou translação de eixos. Pra isso, vamos precisar entender como mudar o sistema de coordenadas para simplificar a equação e identificar que tipo de cônica estamos lidando. A equação que vamos trabalhar é:
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a presença do termo
na equação. Esse termo indica que os eixos da cônica estão rotacionados em relação aos eixos coordenados padrão. Nosso objetivo é eliminar esse termo para facilitar a identificação da cônica.
Passo 3
Para eliminar o termo
, precisamos encontrar o ângulo de rotação
que vai alinhar os eixos da cônica com os eixos coordenados. A fórmula para encontrar esse ângulo é:
Onde:
-
, , e são os coeficientes da equação geral da segunda grau .
No nosso caso,
,
, e
. Substituindo na fórmula:
Isso significa que
tende ao infinito, ou seja,
, então
.
Passo 4
Agora que temos o ângulo de rotação, vamos aplicar a mudança de coordenadas utilizando as fórmulas de rotação:
Com
, sabemos que
. Substituindo na mudança de coordenadas:
Passo 5
Vamos substituir
e
na equação original pela mudança de coordenadas:
Isso vai dar uma equação sem o termo
, facilitando a identificação da cônica.
Passo 6
Após desenvolver os termos e simplificar, vamos obter uma equação na forma:
Esse formato nos ajuda a identificar o tipo de cônica e a determinar seu centro e parâmetros principais.
Passo 7
Para encontrar o centro da cônica, usamos as derivadas parciais em relação a
e
e igualamos a zero:
Resolvendo essas equações, encontramos as coordenadas do centro
.
Resposta
Após realizar as rotações e translações necessárias, a equação canônica da cônica é:
Isso representa uma circunferência com centro em
e raio
.
Exercícios relacionados
Encontre a equação canônica de cada cônica por rotação/translação de eixos e identifique-a.
Em cada item a seguir, determine se
é diagonalizável.
(0,5) (b) , onde
é o operador linear dado por
em relação à base canônica
.
(0,5) (b)
Encontre a equação canônica de cada cônica por rotação/translação de eixos e identifique-a.
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