Encontre a equação canônica de cada cônica por rotação/translação de eixos e identifique-a. 5 x^2+6 x y+5 y^2-8=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação do segundo grau com termos misturados de e : . A matéria envolvida é o estudo das seções cônicas, que inclui elipses, hipérboles e parábolas. Para resolver isso, vamos precisar entender como rotacionar ou transladar os eixos para transformar essa equação na sua forma canônica, que é mais fácil de identificar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo de cônica que estamos lidando. Observando os coeficientes de e , que são iguais, e o termo não é zero, isso sugere que estamos diante de uma elipse ou de um círculo, mas como há o termo , há uma inclinação nos eixos. Precisamos eliminar esse termo de para facilitar a identificação.

Passo 3

Para eliminar o termo tan(2theta) = BA - C , vamos rotacionar o sistema de coordenadas. A fórmula para o ângulo de rotação tan(2theta) = 65 - 5 = 60 é dado por:
Onde , e . Substituindo:
Isso significa que , então .

Passo 4

Com o ângulo de rotação x = x'costheta - y'sintheta , usamos as fórmulas de coordenadas rotacionadas:
y = x'sintheta + y'costheta
Como , substituímos na equação original.

Passo 5

Substituindo 5(raiz22x' - raiz22y')^2 + 6(raiz22x' - raiz22y')(raiz22x' + raiz22y') + 5(raiz22x' + raiz22y')^2 - 8 = 0 e na equação original:
Simplificando essa expressão, percebemos que o termo cancela, deixando a equação sem o termo de cruzamento.

Passo 6

Após simplificar, a equação fica na forma:
5x'^2 + 5y'^2 - 8 = 0
Podemos dividir tudo por 5:
x'^2 + y'^2 = 85
Essa é a equação de um círculo no sistema de coordenadas rotacionado.

Resposta

A equação canônica da cônica é , que representa um círculo com centro na origem do sistema de coordenadas rotacionado.

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