Encontre a equação canônica de cada cônica por rotação/translação de eixos e identifique-a.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação do segundo grau com termos misturados de e : . A matéria envolvida é o estudo das seções cônicas, que inclui elipses, hipérboles e parábolas. Para resolver isso, vamos precisar entender como rotacionar ou transladar os eixos para transformar essa equação na sua forma canônica, que é mais fácil de identificar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo de cônica que estamos lidando. Observando os coeficientes de e , que são iguais, e o termo não é zero, isso sugere que estamos diante de uma elipse ou de um círculo, mas como há o termo , há uma inclinação nos eixos. Precisamos eliminar esse termo de para facilitar a identificação.

Passo 3

Para eliminar o termo , vamos rotacionar o sistema de coordenadas. A fórmula para o ângulo de rotação é dado por:
Onde , e . Substituindo:
Isso significa que , então .

Passo 4

Com o ângulo de rotação , usamos as fórmulas de coordenadas rotacionadas:
Como , substituímos na equação original.

Passo 5

Substituindo e na equação original:
Simplificando essa expressão, percebemos que o termo cancela, deixando a equação sem o termo de cruzamento.

Passo 6

Após simplificar, a equação fica na forma:
Podemos dividir tudo por 5:
Essa é a equação de um círculo no sistema de coordenadas rotacionado.

Resposta

A equação canônica da cônica é , que representa um círculo com centro na origem do sistema de coordenadas rotacionado.

Exercícios relacionados

Sejam e a matriz dada por:
A matriz é diagonalizável se, e só se:
(a)
(b)
© e
(d)
(e) ou
Determine seus autovalores e bases dos autoespaços em cada item a seguir:
(b) Da matriz , sendo .
Em cada item a seguir, determine se é diagonalizável.
(0,5) (b) , onde é o operador linear dado por em relação à base canônica .
Encontre a equação canônica de cada cônica por rotação/translação de eixos e identifique-a.