Encontre a equação canônica de cada cônica por rotação/translação de eixos e identifique-a. x^2+4 x y+y^2=4

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação e precisa encontrar a equação canônica dessa cônica. Isso significa que vamos simplificar a equação pra um formato mais fácil de identificar se é uma circunferência, elipse, parábola ou hipérbole. Para isso, vamos precisar usar rotação de eixos, que ajuda a eliminar o termo e facilitar a identificação da cônica.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que temos: a equação geral da cônica é . Note que tem um termo misto , o que indica que os eixos não estão alinhados com os eixos principais da cônica. Nosso objetivo é eliminar esse termo usando uma rotação de eixos.

Passo 3

Para eliminar o termo tan(2theta) = BA - C , usamos a fórmula para o ângulo de rotação A = 1, B = 4, C = 1 :
tan(2theta) = 41 - 1 = 40
Onde, na nossa equação:
theta = 90^circ2 = 45^circ
Substituindo na fórmula:
Isso significa que tende ao infinito, o que ocorre quando . Então:

Passo 4

Agora que sabemos que precisamos rotacionar os eixos x = x'costheta - y'sintheta , vamos fazer as substituições:
y = x'sintheta + y'costheta
x = raiz22x' - raiz22y'
Com y = raiz22x' + raiz22y' , temos . Substituindo:

Passo 5

Vamos substituir (raiz22x' - raiz22y')^2 + 4(raiz22x' - raiz22y')(raiz22x' + raiz22y') + (raiz22x' + raiz22y')^2 = 4 e na equação original:
Vamos expandir cada termo:

Passo 6

Somando tudo:
(12x'^2 - raiz22x'y' + 12y'^2) + (2x'^2 - 2y'^2) + (12x'^2 + raiz22x'y' + 12y'^2) = 4
Simplificando os termos:
(12x'^2 + 2x'^2 + 12x'^2) + (-raiz22x'y' + raiz22x'y') + (12y'^2 - 2y'^2 + 12y'^2) = 4
Isso resulta em:
3x'^2 - y'^2 = 4

Passo 7

Agora temos a equação na forma:
3x'^2 - y'^2 = 4
Para colocar na forma canônica, dividimos ambos os lados por 4:
3x'^24 - y'^24 = 1
Isso é uma hipérbole, pois temos um sinal negativo entre os termos quadráticos.

Resposta

A equação canônica da cônica é , e ela representa uma hipérbole.

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