Encontre a equação canônica de cada cônica por rotação/translação de eixos e identifique-a.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação
e precisa encontrar a equação canônica dessa cônica. Isso significa que vamos simplificar a equação pra um formato mais fácil de identificar se é uma circunferência, elipse, parábola ou hipérbole. Para isso, vamos precisar usar rotação de eixos, que ajuda a eliminar o termo
e facilitar a identificação da cônica.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o que temos: a equação geral da cônica é
. Note que tem um termo misto
, o que indica que os eixos não estão alinhados com os eixos principais da cônica. Nosso objetivo é eliminar esse termo usando uma rotação de eixos.
Passo 3
Para eliminar o termo
, usamos a fórmula para o ângulo de rotação
:
Onde, na nossa equação:
Substituindo na fórmula:
Isso significa que
tende ao infinito, o que ocorre quando
. Então:
Passo 4
Agora que sabemos que precisamos rotacionar os eixos
, vamos fazer as substituições:
Com
, temos
. Substituindo:
Passo 5
Vamos substituir
e
na equação original:
Vamos expandir cada termo:
Passo 6
Somando tudo:
Simplificando os termos:
Isso resulta em:
Passo 7
Agora temos a equação na forma:
Para colocar na forma canônica, dividimos ambos os lados por 4:
Isso é uma hipérbole, pois temos um sinal negativo entre os termos quadráticos.
Resposta
A equação canônica da cônica é
, e ela representa uma hipérbole.
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Em cada item a seguir, determine se
é diagonalizável.
(0,5) (b) , onde
é o operador linear dado por
em relação à base canônica
.
(0,5) (b)
Encontre a equação canônica de cada cônica por rotação/translação de eixos e identifique-a.
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