Sejam a in R e A in M3 R a matriz dada por:
A=[ccc a & 4 & 0 1 & a & 0 0 & 1 & -1 ]
A matriz A é diagonalizável se, e só se:
(a) a neq 1
(b) a neq-1
© a neq-3 e a neq 1
(d) a neq-3
(e) a=1 ou a=-3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma matriz de ordem 3, que depende de um número real . A questão pergunta para quais valores de a matriz é diagonalizável. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre autovalores e autovetores, que são fundamentais para diagonalizar matrizes. Vamos precisar encontrar os autovalores de e verificar se a matriz possui um conjunto completo de autovetores independentes.

Passo 2

Primeiro, para encontrar os autovalores de det(A - lambda I) = 0 , precisamos calcular o polinômio característico da matriz. Isso é feito calculando o determinante da matriz A - lambda I = a - lambda & 4 & 0 1 & a - lambda & 0 0 & 1 & -1 - lambda , onde é a matriz identidade e representa os autovalores. A expressão fica assim:
Vamos montar a matriz :

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (a - lambda) cdot det a - lambda & 0 1 & -1 - lambda - 4 cdot det 1 & 0 0 & -1 - lambda + 0 cdot det 1 & a - lambda 0 & 1
Calculando cada determinante menor:
det a - lambda & 0 1 & -1 - lambda = (a - lambda)(-1 - lambda) - (0 cdot 1) = -(a - lambda)(1 + lambda)
det 1 & 0 0 & -1 - lambda = (1)(-1 - lambda) - (0 cdot 0) = -1 - lambda
Substituindo de volta:
det(A - lambda I) = (a - lambda)(- (a - lambda)(1 + lambda)) - 4(-1 - lambda) = - (a - lambda)^2 (1 + lambda) + 4(1 + lambda)
Fatorando det(A - lambda I) = (1 + lambda)(- (a - lambda)^2 + 4) :
- (a^2 - 2alambda + lambda^2) + 4 = -a^2 + 2alambda - lambda^2 + 4
Expandindo det(A - lambda I) = (1 + lambda)(- lambda^2 + 2alambda - a^2 + 4) :
Então, o polinômio característico fica:

Passo 4

Para que a matriz (1 + lambda)(- lambda^2 + 2alambda - a^2 + 4) = 0 seja diagonalizável, precisamos que haja três autovalores distintos ou que a multiplicidade geométrica de cada autovalor seja igual à sua multiplicidade algébrica. Vamos analisar as raízes do polinômio característico:
1 + lambda = 0 implies lambda = -1
Isso nos dá um autovalor imediato:
- lambda^2 + 2alambda - a^2 + 4 = 0 implies lambda^2 - 2alambda + a^2 - 4 = 0
E para os outros autovalores, resolvemos:
lambda = 2a pm raiz(2a)^2 - 4 cdot 1 cdot (a^2 - 4)2 = 2a pm raiz4a^2 - 4a^2 + 162 = 2a pm raiz162 = 2a pm 42 = a pm 2
Essa é uma equação quadrática em lambda1 = -1, lambda2 = a + 2, lambda3 = a - 2 . Vamos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes:
-1 neq a + 2 e -1 neq a - 2 e a + 2 neq a - 2
Então, os autovalores são:
a neq -3 e a neq 1
Agora, para que a matriz seja diagonalizável, precisamos que todos os três autovalores sejam distintos, ou seja:
Vamos analisar cada condição:
  1. (isso é sempre verdadeiro)
Então, as condições para os autovalores serem distintos são:

Passo 5

Comparando com as opções fornecidas:
(a)
(b)
© e
(d)
(e) ou
A resposta correta é a opção ©, que afirma que e .

Resposta

A alternativa correta é a © e .

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