Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma matriz de ordem 3, que depende de um número real . A questão pergunta para quais valores de a matriz é diagonalizável. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre autovalores e autovetores, que são fundamentais para diagonalizar matrizes. Vamos precisar encontrar os autovalores de e verificar se a matriz possui um conjunto completo de autovetores independentes.
Passo 2
Primeiro, para encontrar os autovalores de , precisamos calcular o polinômio característico da matriz. Isso é feito calculando o determinante da matriz , onde é a matriz identidade e representa os autovalores. A expressão fica assim:
Vamos montar a matriz :
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
Calculando cada determinante menor:
Substituindo de volta:
Fatorando :
Expandindo :
Então, o polinômio característico fica:
Passo 4
Para que a matriz seja diagonalizável, precisamos que haja três autovalores distintos ou que a multiplicidade geométrica de cada autovalor seja igual à sua multiplicidade algébrica. Vamos analisar as raízes do polinômio característico:
Isso nos dá um autovalor imediato:
E para os outros autovalores, resolvemos:
Essa é uma equação quadrática em . Vamos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes:
Então, os autovalores são:
Agora, para que a matriz seja diagonalizável, precisamos que todos os três autovalores sejam distintos, ou seja:
Vamos analisar cada condição:
(isso é sempre verdadeiro)
Então, as condições para os autovalores serem distintos são: