Sejam e a matriz dada por:
A matriz é diagonalizável se, e só se:
(a)
(b)
© e
(d)
(e) ou

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma matriz de ordem 3, que depende de um número real . A questão pergunta para quais valores de a matriz é diagonalizável. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre autovalores e autovetores, que são fundamentais para diagonalizar matrizes. Vamos precisar encontrar os autovalores de e verificar se a matriz possui um conjunto completo de autovetores independentes.

Passo 2

Primeiro, para encontrar os autovalores de , precisamos calcular o polinômio característico da matriz. Isso é feito calculando o determinante da matriz , onde é a matriz identidade e representa os autovalores. A expressão fica assim:
Vamos montar a matriz :

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
Calculando cada determinante menor:
Substituindo de volta:
Fatorando :
Expandindo :
Então, o polinômio característico fica:

Passo 4

Para que a matriz seja diagonalizável, precisamos que haja três autovalores distintos ou que a multiplicidade geométrica de cada autovalor seja igual à sua multiplicidade algébrica. Vamos analisar as raízes do polinômio característico:
Isso nos dá um autovalor imediato:
E para os outros autovalores, resolvemos:
Essa é uma equação quadrática em . Vamos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes:
Então, os autovalores são:
Agora, para que a matriz seja diagonalizável, precisamos que todos os três autovalores sejam distintos, ou seja:
Vamos analisar cada condição:
  1. (isso é sempre verdadeiro)
Então, as condições para os autovalores serem distintos são:

Passo 5

Comparando com as opções fornecidas:
(a)
(b)
© e
(d)
(e) ou
A resposta correta é a opção ©, que afirma que e .

Resposta

A alternativa correta é a © e .

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Determine seus autovalores e bases dos autoespaços em cada item a seguir:
(b) Da matriz , sendo .
Em cada item a seguir, determine se é diagonalizável.
©
Encontre a equação canônica de cada cônica por rotação/translação de eixos e identifique-a.
Em cada item a seguir, determine se é diagonalizável.
(0,5) (b) , onde é o operador linear dado por em relação à base canônica .