Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma matriz de ordem 3, que depende de um número real . A questão pergunta para quais valores de a matriz é diagonalizável. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre autovalores e autovetores, que são fundamentais para diagonalizar matrizes. Vamos precisar encontrar os autovalores de e verificar se a matriz possui um conjunto completo de autovetores independentes.
Passo 2
Primeiro, para encontrar os autovalores de det(A - lambda I) = 0 , precisamos calcular o polinômio característico da matriz. Isso é feito calculando o determinante da matriz A - lambda I = a - lambda & 4 & 0 1 & a - lambda & 0 0 & 1 & -1 - lambda , onde é a matriz identidade e representa os autovalores. A expressão fica assim:
Vamos montar a matriz :
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (a - lambda) cdot det a - lambda & 0 1 & -1 - lambda - 4 cdot det 1 & 0 0 & -1 - lambda + 0 cdot det 1 & a - lambda 0 & 1
Calculando cada determinante menor:
det a - lambda & 0 1 & -1 - lambda = (a - lambda)(-1 - lambda) - (0 cdot 1) = -(a - lambda)(1 + lambda)
Para que a matriz (1 + lambda)(- lambda^2 + 2alambda - a^2 + 4) = 0 seja diagonalizável, precisamos que haja três autovalores distintos ou que a multiplicidade geométrica de cada autovalor seja igual à sua multiplicidade algébrica. Vamos analisar as raízes do polinômio característico: