Em cada item a seguir, determine se é diagonalizável.
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Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz quadrada de ordem 3:
O objetivo é determinar se essa matriz é diagonalizável. Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre autovalores e autovetores.

Passo 2

Para verificar se a matriz é diagonalizável, precisamos encontrar seus autovalores. Os autovalores são encontrados resolvendo a equação característica, que é dada por:
onde é a matriz identidade e representa os autovalores.

Passo 3

Calculando :
Como a matriz é triangular (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal.

Passo 4

Igualando o determinante a zero para encontrar os autovalores:
Então, os autovalores são:

Passo 5

Agora, para que seja diagonalizável, a soma das multiplicidades geométricas dos autovalores deve ser igual à ordem da matriz, que neste caso é 3. Isso significa que para cada autovalor, devemos ter autovetores suficientes.
Vamos verificar a multiplicidade geométrica de cada autovalor.

Passo 6

Para , resolvemos :
Resolvendo o sistema, encontramos que existe uma única solução não trivial, indicando que a multiplicidade geométrica de é 1.

Passo 7

Para , resolvemos :
Resolvendo este sistema, também encontramos uma única solução não trivial, indicando que a multiplicidade geométrica de é 1.

Passo 8

A soma das multiplicidades geométricas é , que é menor que a ordem da matriz . Portanto, não há autovetores suficientes para diagonalizar a matriz .

Resposta

A matriz não é diagonalizável.

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Em cada item a seguir, determine se é diagonalizável.
a)
Encontre a equação canônica de cada cônica por rotação/translação de eixos e identifique-a.
Determine seus autovalores e bases dos autoespaços em cada item a seguir:
(b) Da matriz , sendo .
Sejam e a matriz dada por:
A matriz é diagonalizável se, e só se:
(a)
(b)
© e
(d)
(e) ou