Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz quadrada de ordem 3:
O objetivo é determinar se essa matriz é diagonalizável. Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre autovalores e autovetores.
Passo 2
Para verificar se a matriz é diagonalizável, precisamos encontrar seus autovalores. Os autovalores são encontrados resolvendo a equação característica, que é dada por:
onde é a matriz identidade e representa os autovalores.
Passo 3
Calculando :
Como a matriz é triangular (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal.
Passo 4
Igualando o determinante a zero para encontrar os autovalores:
Então, os autovalores são:
Passo 5
Agora, para que seja diagonalizável, a soma das multiplicidades geométricas dos autovalores deve ser igual à ordem da matriz, que neste caso é 3. Isso significa que para cada autovalor, devemos ter autovetores suficientes.
Vamos verificar a multiplicidade geométrica de cada autovalor.
Passo 6
Para , resolvemos :
Resolvendo o sistema, encontramos que existe uma única solução não trivial, indicando que a multiplicidade geométrica de é 1.
Passo 7
Para , resolvemos :
Resolvendo este sistema, também encontramos uma única solução não trivial, indicando que a multiplicidade geométrica de é 1.
Passo 8
A soma das multiplicidades geométricas é , que é menor que a ordem da matriz . Portanto, não há autovetores suficientes para diagonalizar a matriz .