Em cada item a seguir, determine se A é diagonalizável.
(0,5) © A=[ccc3 & 3 & -4 0 & 3 & 5 0 & 0 & -1]

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz quadrada A = 3 & 3 & -4 0 & 3 & 5 0 & 0 & -1 de ordem 3:
O objetivo é determinar se essa matriz é diagonalizável. Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre autovalores e autovetores.

Passo 2

Para verificar se a matriz det(A - lambda I) = 0 é diagonalizável, precisamos encontrar seus autovalores. Os autovalores são encontrados resolvendo a equação característica, que é dada por:
onde é a matriz identidade e representa os autovalores.

Passo 3

Calculando A - lambda I = 3 - lambda & 3 & -4 0 & 3 - lambda & 5 0 & 0 & -1 - lambda :
det(A - lambda I) = (3 - lambda)(3 - lambda)(-1 - lambda)
Como a matriz é triangular (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal.

Passo 4

Igualando o determinante a zero para encontrar os autovalores:
(3 - lambda)^2 (-1 - lambda) = 0
Então, os autovalores são:

Passo 5

Agora, para que seja diagonalizável, a soma das multiplicidades geométricas dos autovalores deve ser igual à ordem da matriz, que neste caso é 3. Isso significa que para cada autovalor, devemos ter autovetores suficientes.
Vamos verificar a multiplicidade geométrica de cada autovalor.

Passo 6

Para A - 3I = 0 & 3 & -4 0 & 0 & 5 0 & 0 & -4 , resolvemos :
Resolvendo o sistema, encontramos que existe uma única solução não trivial, indicando que a multiplicidade geométrica de é 1.

Passo 7

Para A + I = 4 & 3 & -4 0 & 4 & 5 0 & 0 & 0 , resolvemos :
Resolvendo este sistema, também encontramos uma única solução não trivial, indicando que a multiplicidade geométrica de é 1.

Passo 8

A soma das multiplicidades geométricas é , que é menor que a ordem da matriz . Portanto, não há autovetores suficientes para diagonalizar a matriz .

Resposta

A matriz não é diagonalizável.

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