Em cada item a seguir, determine se
é diagonalizável.
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que ver se a matriz
é diagonalizável. Isso está ligado ao conteúdo de álgebra linear, mais especificamente à diagonalização de matrizes. Para isso, vamos precisar calcular os autovalores e autovetores de
e verificar se temos uma base de vetores próprios que permita diagonalizá-la.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores de
. Os autovalores são os valores de
que satisfazem a equação característica:
Aqui,
é a matriz identidade. Vamos calcular:
A determinante dessa matriz é:
Então, a equação característica é:
Passo 3
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os autovalores:
Podemos fatorar:
Portanto, os autovalores são:
Passo 4
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Começando com
:
Resolvemos
:
Isso nos dá o sistema:
Resolvendo, temos
. Então, um autovetor para
é:
Passo 5
Agora, vamos para
:
Resolvemos
:
Isso nos dá o sistema:
Resolvendo, temos
. Então, um autovetor para
é:
Passo 6
Agora que encontramos dois autovalores distintos
e
, cada um com seu autovetor correspondente, sabemos que a matriz
tem número completo de autovetores. Isso significa que podemos formar uma base de autovetores para o espaço, o que é exatamente o que precisamos para que uma matriz seja diagonalizável.
Resposta
Sim, a matriz
é diagonalizável.