Em cada item a seguir, determine se A é diagonalizável.
(0,5)( a) A=[cc3 & -2 1 & 0]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que ver se a matriz 3 & -2 1 & 0 é diagonalizável. Isso está ligado ao conteúdo de álgebra linear, mais especificamente à diagonalização de matrizes. Para isso, vamos precisar calcular os autovalores e autovetores de e verificar se temos uma base de vetores próprios que permita diagonalizá-la.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores de det(A - lambda I) = 0 . Os autovalores são os valores de A - lambda I = 3-lambda & -2 1 & 0-lambda que satisfazem a equação característica:
det(A - lambda I) = (3 - lambda)(- lambda) - (-2)(1) = -3lambda + lambda^2 + 2 = lambda^2 - 3lambda + 2
Aqui, lambda^2 - 3lambda + 2 = 0 é a matriz identidade. Vamos calcular:
A determinante dessa matriz é:
Então, a equação característica é:

Passo 3

Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os autovalores:
lambda^2 - 3lambda + 2 = 0
Podemos fatorar:
(lambda - 1)(lambda - 2) = 0
Portanto, os autovalores são:
lambda1 = 1 e lambda2 = 2

Passo 4

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Começando com 3-1 & -2 1 & 0-1 v1 v2 = 2 & -2 1 & -1 v1 v2 = 0 0 :
Resolvemos 2v1 - 2v2 = 0 v1 - v2 = 0 :
v1 = 1 1
Isso nos dá o sistema:
Resolvendo, temos . Então, um autovetor para é:

Passo 5

Agora, vamos para 3-2 & -2 1 & 0-2 v1 v2 = 1 & -2 1 & -2 v1 v2 = 0 0 :
Resolvemos v1 - 2v2 = 0 v1 - 2v2 = 0 :
v2 = 2 1
Isso nos dá o sistema:
Resolvendo, temos . Então, um autovetor para é:

Passo 6

Agora que encontramos dois autovalores distintos e , cada um com seu autovetor correspondente, sabemos que a matriz tem número completo de autovetores. Isso significa que podemos formar uma base de autovetores para o espaço, o que é exatamente o que precisamos para que uma matriz seja diagonalizável.

Resposta

Sim, a matriz 3 & -2 1 & 0 é diagonalizável.

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