Em cada item a seguir, determine se é diagonalizável. a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que ver se a matriz é diagonalizável. Isso está ligado ao conteúdo de álgebra linear, mais especificamente à diagonalização de matrizes. Para isso, vamos precisar calcular os autovalores e autovetores de e verificar se temos uma base de vetores próprios que permita diagonalizá-la.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores de . Os autovalores são os valores de que satisfazem a equação característica:
Aqui, é a matriz identidade. Vamos calcular:
A determinante dessa matriz é:
Então, a equação característica é:
Passo 3
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os autovalores:
Podemos fatorar:
Portanto, os autovalores são:
Passo 4
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Começando com :
Resolvemos :
Isso nos dá o sistema:
Resolvendo, temos . Então, um autovetor para é:
Passo 5
Agora, vamos para :
Resolvemos :
Isso nos dá o sistema:
Resolvendo, temos . Então, um autovetor para é:
Passo 6
Agora que encontramos dois autovalores distintos e , cada um com seu autovetor correspondente, sabemos que a matriz tem número completo de autovetores. Isso significa que podemos formar uma base de autovetores para o espaço, o que é exatamente o que precisamos para que uma matriz seja diagonalizável.