Determine seus autovalores e bases dos autoespaços em cada item a seguir:
(b) Da matriz , sendo .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar os autovalores e as bases dos autoespaços da matriz , onde é dada por:
Nesse problema, vamos trabalhar com autovalores (valores próprios) e autoespaços (espaços próprios) de matrizes. Para resolver, precisamos entender como encontrar os autovalores e, a partir deles, os autoespaços de uma matriz elevada a uma potência, neste caso, .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz . Os autovalores são os valores que satisfazem a equação característica:
onde é a matriz identidade de mesma dimensão que .

Passo 3

Calculamos :

Passo 4

Encontramos o determinante dessa matriz:
Vamos expandir esse determinante:

Passo 5

Calculamos os determinantes menores:

Passo 6

Substituímos de volta no determinante original:
Simplificamos cada termo:

Passo 7

Multiplicamos os termos:
Simplificando:

Passo 8

Agrupamos os termos semelhantes:
Simplificando:

Passo 9

A equação característica é:
Podemos multiplicar ambos os lados por -1 para simplificar:

Passo 10

Agora, resolvemos a equação cúbica . Tentamos encontrar raízes racionais utilizando o Teorema das Raízes Racionais. Os possíveis candidatos são e .
Testando :
Portanto, é um autovalor.

Passo 11

Agora, fatoramos da equação cúbica:
Usando a divisão polinomial ou agrupamento, encontramos os coeficientes e :
Após a fatoração, obtemos:
Portanto, a equação fatorada é:

Passo 12

Resolvemos cada fator:
Assim, os autovalores de são e .

Passo 13

Agora, vamos determinar as bases dos autoespaços para cada autovalor encontrado.
Primeiro, para :
Resolvemos :

Passo 14

Encontramos o sistema homogêneo:
Simplificando, vemos que todas as equações são equivalentes:

Passo 15

Expressamos uma variável em termos das outras. Por exemplo, seja .
Então, a solução geral é:

Passo 16

Portanto, a base do autoespaço para é o conjunto dos vetores:

Passo 17

Agora, para :
Resolvemos :

Passo 18

Encontramos o sistema homogêneo:
Da primeira equação:

Passo 19

Substituímos na segunda equação:

Passo 20

A solução geral é:

Passo 21

Portanto, a base do autoespaço para é o conjunto do vetor:

Passo 22

Agora, sabemos que se é um autovalor de , então é um autovalor de . Além disso, os autovetores permanecem os mesmos.

Passo 23

Calculamos os autovalores de :
Para :
Para :

Passo 24

Portanto, os autovalores de são os mesmos que os de : e .

Passo 25

As bases dos autoespaços de são as mesmas de :
  • Para :
  • Para :

Resposta

Os autovalores da matriz são e .
As bases dos autoespaços correspondentes são:
  • Para :
  • Para :

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Em cada item a seguir, determine se é diagonalizável.
©
Em cada item a seguir, determine se é diagonalizável.
a)
Sejam e a matriz dada por:
A matriz é diagonalizável se, e só se:
(a)
(b)
© e
(d)
(e) ou
Encontre a equação canônica de cada cônica por rotação/translação de eixos e identifique-a.