Determine seus autovalores e bases dos autoespaços em cada item a seguir:
(b) Da matriz
, sendo
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar os autovalores e as bases dos autoespaços da matriz
A = -1 & -2 & -2 1 & 2 & 1 -1 & -1 & 0 , onde
é dada por:
Nesse problema, vamos trabalhar com autovalores (valores próprios) e autoespaços (espaços próprios) de matrizes. Para resolver, precisamos entender como encontrar os autovalores e, a partir deles, os autoespaços de uma matriz elevada a uma potência, neste caso,
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz
det(A - lambda I) = 0 . Os autovalores são os valores
que satisfazem a equação característica:
onde
é a matriz identidade de mesma dimensão que
.
Passo 3
Calculamos
A - lambda I = -1 - lambda & -2 & -2 1 & 2 - lambda & 1 -1 & -1 & -lambda :
Passo 4
Encontramos o determinante dessa matriz:
Vamos expandir esse determinante:
Passo 5
Calculamos os determinantes menores:
Passo 6
Substituímos de volta no determinante original:
Simplificamos cada termo:
Passo 7
Multiplicamos os termos:
Simplificando:
Passo 8
Agrupamos os termos semelhantes:
Simplificando:
Passo 9
A equação característica é:
Podemos multiplicar ambos os lados por -1 para simplificar:
Passo 10
Agora, resolvemos a equação cúbica
1^3 - 1^2 - 1 + 1 = 1 - 1 - 1 + 1 = 0 . Tentamos encontrar raízes racionais utilizando o Teorema das Raízes Racionais. Os possíveis candidatos são
e
.
Testando
:
Portanto,
é um autovalor.
Passo 11
Agora, fatoramos
lambda^3 - lambda^2 - lambda + 1 = (lambda - 1)(lambda^2 + alambda + b) da equação cúbica:
Usando a divisão polinomial ou agrupamento, encontramos os coeficientes
(lambda - 1)(lambda^2 - 1) = 0 e
:
Após a fatoração, obtemos:
Portanto, a equação fatorada é:
Passo 12
Resolvemos cada fator:
-
⇒ -
⇒
Assim, os autovalores de
são
e
.
Passo 13
Agora, vamos determinar as bases dos autoespaços para cada autovalor encontrado.
Primeiro, para
A - I = -2 & -2 & -2 1 & 1 & 1 -1 & -1 & -1 :
Resolvemos
:
Passo 14
Encontramos o sistema homogêneo:
Simplificando, vemos que todas as equações são equivalentes:
Passo 15
Expressamos uma variável em termos das outras. Por exemplo, seja
v = -v2 - v3 v2 v3 = v2 -1 1 0 + v3 -1 0 1 .
Então, a solução geral é:
Passo 16
Portanto, a base do autoespaço para
-1 1 0 , -1 0 1 é o conjunto dos vetores:
Passo 17
Agora, para
A + I = 0 & -2 & -2 1 & 3 & 1 -1 & -1 & 1 :
Resolvemos
:
Passo 18
Encontramos o sistema homogêneo:
Da primeira equação:
⇒
Passo 19
Substituímos
v1 + 3(-v3) + v3 = 0 Rightarrow v1 - 2v3 = 0 Rightarrow v1 = 2v3 na segunda equação:
Passo 20
A solução geral é:
Passo 21
Portanto, a base do autoespaço para
2 -1 1 é o conjunto do vetor:
Passo 22
Agora, sabemos que se
é um autovalor de
, então
é um autovalor de
. Além disso, os autovetores permanecem os mesmos.
Passo 23
Calculamos os autovalores de
lambda^13 = 1^13 = 1 :
Para
lambda^13 = (-1)^13 = -1 :
Para
:
Passo 24
Portanto, os autovalores de
são os mesmos que os de
:
e
.
Passo 25
As bases dos autoespaços de
-1 1 0 , -1 0 1 são as mesmas de
2 -1 1 :
- Para
:
- Para
:
Resposta
Os autovalores da matriz
-1 1 0 , -1 0 1 são
2 -1 1 e
.
As bases dos autoespaços correspondentes são:
- Para
:
- Para
: