Determine seus autovalores e bases dos autoespaços em cada item a seguir:
(0,5) (b) Da matriz A^13, sendo A=[ccc-1 & -2 & -2 1 & 2 & 1 -1 & -1 & 0].

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar os autovalores e as bases dos autoespaços da matriz A = -1 & -2 & -2 1 & 2 & 1 -1 & -1 & 0 , onde é dada por:
Nesse problema, vamos trabalhar com autovalores (valores próprios) e autoespaços (espaços próprios) de matrizes. Para resolver, precisamos entender como encontrar os autovalores e, a partir deles, os autoespaços de uma matriz elevada a uma potência, neste caso, .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz det(A - lambda I) = 0 . Os autovalores são os valores que satisfazem a equação característica:
onde é a matriz identidade de mesma dimensão que .

Passo 3

Calculamos A - lambda I = -1 - lambda & -2 & -2 1 & 2 - lambda & 1 -1 & -1 & -lambda :

Passo 4

Encontramos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = -1 - lambda & -2 & -2 1 & 2 - lambda & 1 -1 & -1 & -lambda
Vamos expandir esse determinante:
= (-1 - lambda) cdot 2 - lambda & 1 -1 & -lambda - (-2) cdot 1 & 1 -1 & -lambda + (-2) cdot 1 & 2 - lambda -1 & -1

Passo 5

Calculamos os determinantes menores:
2 - lambda & 1 -1 & -lambda = (2 - lambda)(-lambda) - (1)(-1) = -2lambda + lambda^2 + 1
1 & 1 -1 & -lambda = (1)(-lambda) - (1)(-1) = -lambda + 1
1 & 2 - lambda -1 & -1 = (1)(-1) - (2 - lambda)(-1) = -1 + 2 - lambda = 1 - lambda

Passo 6

Substituímos de volta no determinante original:
det(A - lambda I) = (-1 - lambda)(lambda^2 - 2lambda + 1) - (-2)(- lambda + 1) + (-2)(1 - lambda)
Simplificamos cada termo:
= (-1 - lambda)(lambda^2 - 2lambda + 1) - 2(lambda - 1) - 2(1 - lambda)

Passo 7

Multiplicamos os termos:
= (-1)(lambda^2 - 2lambda + 1) - lambda(lambda^2 - 2lambda + 1) - 2lambda + 2 - 2 + 2lambda
Simplificando:
= (-lambda^2 + 2lambda - 1) - (lambda^3 - 2lambda^2 + lambda) - 2lambda + 2 - 2 + 2lambda
= -lambda^2 + 2lambda - 1 - lambda^3 + 2lambda^2 - lambda - 2lambda + 2 - 2 + 2lambda

Passo 8

Agrupamos os termos semelhantes:
- lambda^3 + ( -lambda^2 + 2lambda^2 ) + (2lambda - lambda - 2lambda + 2lambda) + (-1 + 2 - 2)
Simplificando:
- lambda^3 + lambda^2 + lambda - 1

Passo 9

A equação característica é:
- lambda^3 + lambda^2 + lambda - 1 = 0
Podemos multiplicar ambos os lados por -1 para simplificar:
lambda^3 - lambda^2 - lambda + 1 = 0

Passo 10

Agora, resolvemos a equação cúbica 1^3 - 1^2 - 1 + 1 = 1 - 1 - 1 + 1 = 0 . Tentamos encontrar raízes racionais utilizando o Teorema das Raízes Racionais. Os possíveis candidatos são e .
Testando :
Portanto, é um autovalor.

Passo 11

Agora, fatoramos lambda^3 - lambda^2 - lambda + 1 = (lambda - 1)(lambda^2 + alambda + b) da equação cúbica:
(lambda - 1)(lambda^2 + 0lambda - 1) = 0
Usando a divisão polinomial ou agrupamento, encontramos os coeficientes (lambda - 1)(lambda^2 - 1) = 0 e :
Após a fatoração, obtemos:
Portanto, a equação fatorada é:

Passo 12

Resolvemos cada fator:
Assim, os autovalores de são e .

Passo 13

Agora, vamos determinar as bases dos autoespaços para cada autovalor encontrado.
Primeiro, para A - I = -2 & -2 & -2 1 & 1 & 1 -1 & -1 & -1 :
Resolvemos :

Passo 14

Encontramos o sistema homogêneo:
-2v1 - 2v2 - 2v3 = 0 v1 + v2 + v3 = 0 - v1 - v2 - v3 = 0
Simplificando, vemos que todas as equações são equivalentes:
v1 + v2 + v3 = 0

Passo 15

Expressamos uma variável em termos das outras. Por exemplo, seja v = -v2 - v3 v2 v3 = v2 -1 1 0 + v3 -1 0 1 .
Então, a solução geral é:

Passo 16

Portanto, a base do autoespaço para -1 1 0 , -1 0 1 é o conjunto dos vetores:

Passo 17

Agora, para A + I = 0 & -2 & -2 1 & 3 & 1 -1 & -1 & 1 :
Resolvemos :

Passo 18

Encontramos o sistema homogêneo:
0v1 - 2v2 - 2v3 = 0 v1 + 3v2 + v3 = 0 - v1 - v2 + v3 = 0
Da primeira equação:

Passo 19

Substituímos v1 + 3(-v3) + v3 = 0 Rightarrow v1 - 2v3 = 0 Rightarrow v1 = 2v3 na segunda equação:

Passo 20

A solução geral é:
v = 2v3 -v3 v3 = v3 2 -1 1

Passo 21

Portanto, a base do autoespaço para 2 -1 1 é o conjunto do vetor:

Passo 22

Agora, sabemos que se é um autovalor de , então é um autovalor de . Além disso, os autovetores permanecem os mesmos.

Passo 23

Calculamos os autovalores de lambda^13 = 1^13 = 1 :
Para lambda^13 = (-1)^13 = -1 :
Para :

Passo 24

Portanto, os autovalores de são os mesmos que os de : e .

Passo 25

As bases dos autoespaços de -1 1 0 , -1 0 1 são as mesmas de 2 -1 1 :
  • Para :
  • Para :

Resposta

Os autovalores da matriz -1 1 0 , -1 0 1 são 2 -1 1 e .
As bases dos autoespaços correspondentes são:
  • Para :
  • Para :

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