Determine seus autovalores e bases dos autoespaços em cada item a seguir: (b) Da matriz , sendo .
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar os autovalores e as bases dos autoespaços da matriz , onde é dada por:
Nesse problema, vamos trabalhar com autovalores (valores próprios) e autoespaços (espaços próprios) de matrizes. Para resolver, precisamos entender como encontrar os autovalores e, a partir deles, os autoespaços de uma matriz elevada a uma potência, neste caso, .
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz . Os autovalores são os valores que satisfazem a equação característica:
onde é a matriz identidade de mesma dimensão que .
Passo 3
Calculamos :
Passo 4
Encontramos o determinante dessa matriz:
Vamos expandir esse determinante:
Passo 5
Calculamos os determinantes menores:
Passo 6
Substituímos de volta no determinante original:
Simplificamos cada termo:
Passo 7
Multiplicamos os termos:
Simplificando:
Passo 8
Agrupamos os termos semelhantes:
Simplificando:
Passo 9
A equação característica é:
Podemos multiplicar ambos os lados por -1 para simplificar:
Passo 10
Agora, resolvemos a equação cúbica . Tentamos encontrar raízes racionais utilizando o Teorema das Raízes Racionais. Os possíveis candidatos são e .
Testando :
Portanto, é um autovalor.
Passo 11
Agora, fatoramos da equação cúbica:
Usando a divisão polinomial ou agrupamento, encontramos os coeficientes e :
Após a fatoração, obtemos:
Portanto, a equação fatorada é:
Passo 12
Resolvemos cada fator:
⇒
⇒
Assim, os autovalores de são e .
Passo 13
Agora, vamos determinar as bases dos autoespaços para cada autovalor encontrado.
Primeiro, para :
Resolvemos :
Passo 14
Encontramos o sistema homogêneo:
Simplificando, vemos que todas as equações são equivalentes:
Passo 15
Expressamos uma variável em termos das outras. Por exemplo, seja .
Então, a solução geral é:
Passo 16
Portanto, a base do autoespaço para é o conjunto dos vetores:
Passo 17
Agora, para :
Resolvemos :
Passo 18
Encontramos o sistema homogêneo:
Da primeira equação: ⇒
Passo 19
Substituímos na segunda equação:
Passo 20
A solução geral é:
Passo 21
Portanto, a base do autoespaço para é o conjunto do vetor:
Passo 22
Agora, sabemos que se é um autovalor de , então é um autovalor de . Além disso, os autovetores permanecem os mesmos.
Passo 23
Calculamos os autovalores de :
Para :
Para :
Passo 24
Portanto, os autovalores de são os mesmos que os de : e .