Encontre a equação canônica de cada cônica por rotação/translação de eixos e identifique-a.
Passo 1
Então, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação canônica da cônica dada pela equação
. Para isso, vamos usar o conteúdo de cônicas e técnicas de rotação de eixos. Vamos precisar identificar os coeficientes da equação e aplicar uma rotação para eliminar o termo
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os coeficientes da nossa equação geral de segunda grau:
No nosso caso:
-
-
-
-
(não há termo com ) -
(não há termo com ) -
Passo 3
A próxima etapa é eliminar o termo
para simplificar a equação. Para isso, usamos uma rotação de eixo. A fórmula para o ângulo de rotação
que elimina o termo
é:
Vamos substituir os valores:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o valor de
. Vamos calcular:
Usando uma calculadora, encontramos:
Então:
Isso significa que vamos rotacionar os eixos
no sentido horário.
Passo 5
Com o ângulo
, podemos fazer a mudança de coordenadas usando as seguintes fórmulas de rotação:
Onde
são as novas coordenadas após a rotação.
Passo 6
Vamos substituir
e
na equação original com as expressões em
e
:
Isso vai gerar uma equação sem o termo
, simplificando para a equação canônica.
Passo 7
Após expandir e simplificar (o que envolve bastante cálculo), chegamos à forma canônica da equação:
Onde os novos coeficientes
e
indicam o tipo de cônica.
Passo 8
Analisando os coeficientes, vemos que
e
são ambos positivos, o que indica que estamos lidando com uma elipse.
Resposta
A equação canônica da cônica é uma elipse e pode ser escrita na forma:
Após a rotação dos eixos, onde
e
são os semi-eixos da elipse.