Encontre a equação canônica de cada cônica por rotação/translação de eixos e identifique-a.

Passo 1

Então, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação canônica da cônica dada pela equação . Para isso, vamos usar o conteúdo de cônicas e técnicas de rotação de eixos. Vamos precisar identificar os coeficientes da equação e aplicar uma rotação para eliminar o termo .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes da nossa equação geral de segunda grau:
No nosso caso:
  • (não há termo com )
  • (não há termo com )

Passo 3

A próxima etapa é eliminar o termo para simplificar a equação. Para isso, usamos uma rotação de eixo. A fórmula para o ângulo de rotação que elimina o termo é:
Vamos substituir os valores:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o valor de . Vamos calcular:
Usando uma calculadora, encontramos:
Então:
Isso significa que vamos rotacionar os eixos no sentido horário.

Passo 5

Com o ângulo , podemos fazer a mudança de coordenadas usando as seguintes fórmulas de rotação:
Onde são as novas coordenadas após a rotação.

Passo 6

Vamos substituir e na equação original com as expressões em e :
Isso vai gerar uma equação sem o termo , simplificando para a equação canônica.

Passo 7

Após expandir e simplificar (o que envolve bastante cálculo), chegamos à forma canônica da equação:
Onde os novos coeficientes e indicam o tipo de cônica.

Passo 8

Analisando os coeficientes, vemos que e são ambos positivos, o que indica que estamos lidando com uma elipse.

Resposta

A equação canônica da cônica é uma elipse e pode ser escrita na forma:
Após a rotação dos eixos, onde e são os semi-eixos da elipse.

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a)
Em cada item a seguir, determine se é diagonalizável.
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