Em cada item a seguir, determine se a função dada é contínua no ponto indicado. Esboce o gráfico da função.
no ponto 1 ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar se uma função dada é contínua no ponto
e esboçar o gráfico dela. A função é uma função em partes, ou seja, ela tem uma definição diferente para
e para
. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade e como calcular limites, além de saber trabalhar com funções definidas por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função
é contínua em
se três condições forem atendidas:
-
está definida. - O limite de
quando se aproxima de existe. - O limite de
quando se aproxima de é igual a .
Então, vamos verificar essas três condições para
.
Passo 3
Vamos começar calculando o limite de
quando
se aproxima de 1 pela esquerda (
). Para isso, usamos a expressão da função definida para
:
Precisamos simplificar essa fraç��o para facilitar o cálculo do limite.
Passo 4
Vamos fatorar o numerador e o denominador da fração:
Numerador:
A gente tenta encontrar dois números que multiplicados dão e que somados dão
. Esses números são
e
. Então, fatorando:
Numerador:
A gente tenta encontrar dois números que multiplicados dão
Denominador:
Esse trinomio não fatora facilmente, então deixamos assim mesmo.
Esse trinomio não fatora facilmente, então deixamos assim mesmo.
Então, a função fica:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite pela esquerda:
Substituindo
:
Então, o limite pela esquerda é 0.
Passo 6
Agora, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 1 pela direita (
). Para
, a função é:
Como essa é uma função polinomial, o limite quando
se aproxima de 1 é simplesmente o valor da função em
:
Passo 7
Agora, vamos verificar o valor da função em
:
Passo 8
Vamos resumir o que encontramos:
- Limite pela esquerda (
) é 0. - Limite pela direita (
) é 2. - Valor da função em
é 2.
Para a função ser contínua em
, os três valores precisam ser iguais. Porém, o limite pela esquerda é diferente dos outros dois.
Resposta
A função
não é contínua no ponto
, pois o limite quando
se aproxima de 1 pela esquerda (0) é diferente do limite pela direita e do valor da função em 1 (2).