Em cada item a seguir, determine se a função dada é contínua no ponto indicado. Esboce o gráfico da função. g(x) = { (2x² - 3x + 1) / (x² - 3x + 1), se x < 1; x² - 2x + 3, se x ≥ 1 } no ponto 1 ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar se uma função dada é contínua no ponto e esboçar o gráfico dela. A função é uma função em partes, ou seja, ela tem uma definição diferente para e para . Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade e como calcular limites, além de saber trabalhar com funções definidas por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se três condições forem atendidas:
  1. está definida.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .
Então, vamos verificar essas três condições para .

Passo 3

Vamos começar calculando o limite de quando se aproxima de 1 pela esquerda ( ). Para isso, usamos a expressão da função definida para :
Precisamos simplificar essa fraç��o para facilitar o cálculo do limite.

Passo 4

Vamos fatorar o numerador e o denominador da fração:
Numerador:
A gente tenta encontrar dois números que multiplicados dão e que somados dão . Esses números são e . Então, fatorando:
Denominador:
Esse trinomio não fatora facilmente, então deixamos assim mesmo.
Então, a função fica:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite pela esquerda:
Substituindo :
Então, o limite pela esquerda é 0.

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 1 pela direita ( ). Para , a função é:
Como essa é uma função polinomial, o limite quando se aproxima de 1 é simplesmente o valor da função em :

Passo 7

Agora, vamos verificar o valor da função em :

Passo 8

Vamos resumir o que encontramos:
  • Limite pela esquerda ( ) é 0.
  • Limite pela direita ( ) é 2.
  • Valor da função em é 2.
Para a função ser contínua em , os três valores precisam ser iguais. Porém, o limite pela esquerda é diferente dos outros dois.

Resposta

A função não é contínua no ponto , pois o limite quando se aproxima de 1 pela esquerda (0) é diferente do limite pela direita e do valor da função em 1 (2).

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