Calcule os seguintes limites: lim x 1 x^4-1x-1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim x 1 x^4-1x-1. Isso está relacionado ao cálculo de limites em Cálculo, e para resolver, vamos precisar entender como fatorar expressões algébricas.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar o numerador x^4 - 1. Sabemos que isso é uma diferença de potências. Uma regra útil é que a^n - b^n pode ser fatorado como (a - b)(a^n-1 + a^n-2b + dots + b^n-1). Aplicando isso aqui:
x^4 - 1 = (x - 1)(x^3 + x^2 + x + 1)

Passo 3

Agora, substituímos essa fatoração na expressão original do limite:
x^4-1x-1 = (x - 1)(x^3 + x^2 + x + 1)x - 1
Perceba que o (x - 1) no numerador e denominador se cancelam, desde que x neq 1, o que é válido porque estamos considerando o limite quando x se aproxima de 1, mas não igual a 1.

Passo 4

Com o cancelamento, a expressão fica bem mais simples:
x^3 + x^2 + x + 1
Agora, basta substituir x por 1 nessa expressão:
1^3 + 1^2 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 = 4

Resposta

O limite é igual a 4.

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