Calcule lim x 0 sin a xb x;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcularmos . Vamos precisar usar conhecimentos de limites, especificamente o limite fundamental que envolve a função seno. Então, vamos lá passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de um limite básico que é muito útil nesse tipo de problema:
limx 0 sin xx = 1
Esse limite nos diz que, conforme se aproxima de zero, se aproxima de 1.

Passo 3

Agora, no nosso caso, temos sin(a x)b x = ab cdot sin(a x)a x no numerador e no denominador. Podemos reescrever a expressão da seguinte maneira para facilitar:
Aqui, eu separei os coeficientes e para que possamos aplicar o limite básico que mencionamos anteriormente.

Passo 4

Agora, vamos analisar limx 0 sin(a x)a x = limu 0 sin uu = 1 . Se fizermos uma substituição onde , então quando se aproxima de 0, também se aproxima de 0. Assim, podemos aplicar o limite básico:

Passo 5

Voltando à nossa expressão original reescrita:
sin(a x)b x = ab cdot sin(a x)a x
Aplicando o limite, temos:
limx 0 sin(a x)b x = ab cdot limx 0 sin(a x)a x = ab cdot 1 = ab

Resposta

limx 0 sin(a x)b x = ab

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