Em cada item a seguir, determine se a função dada é contínua no ponto indicado. Esboce o gráfico da função.
no ponto
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função chamada
que muda a regra dependendo de
. Para
, a função é
, e para
, é
. A gente precisa descobrir se essa função é contínua no ponto
e também fazer um esboço do gráfico dela. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e continuidade de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite da função
quando
se aproxima de 0 pela esquerda, ou seja, quando
está chegando perto de 0 vindo dos valores negativos. Nesse caso, usamos a parte da função que vale para
, que é
.
Então, o limite pela esquerda é 1.
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite da função
quando
se aproxima de 0 pela direita, ou seja, quando
está chegando perto de 0 vindo dos valores positivos. Aqui, usamos a parte da função que vale para
, que é
.
Então, o limite pela direita é 0.
Passo 4
Vamos verificar o valor da função
exatamente no ponto
. Como
pertence à parte
da função, usamos
.
Portanto,
.
Passo 5
Para a função ser contínua no ponto
, os três valores devem ser iguais:
- Limite pela esquerda: 1
- Limite pela direita: 0
- Valor da função em 0: 0
Aqui, o limite pela esquerda (1) é diferente do limite pela direita (0) e também do valor da função em 0 (0).
Passo 6
Como os limites laterais não são iguais, a função
não é contínua no ponto
. Isso significa que há uma “quebra” ou “salto” no gráfico da função nesse ponto.
Resposta
A função
não é contínua no ponto
. O gráfico apresenta uma descontinuidade do tipo salto nesse ponto.