Em cada item a seguir, determine se a função dada é contínua no ponto indicado. Esboce o gráfico da função. t(x) = { e^x, se x < 0, x², se x ≥ 0 } no ponto 0

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função chamada que muda a regra dependendo de . Para , a função é , e para , é . A gente precisa descobrir se essa função é contínua no ponto e também fazer um esboço do gráfico dela. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e continuidade de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite da função quando se aproxima de 0 pela esquerda, ou seja, quando está chegando perto de 0 vindo dos valores negativos. Nesse caso, usamos a parte da função que vale para , que é .
Então, o limite pela esquerda é 1.

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite da função quando se aproxima de 0 pela direita, ou seja, quando está chegando perto de 0 vindo dos valores positivos. Aqui, usamos a parte da função que vale para , que é .
Então, o limite pela direita é 0.

Passo 4

Vamos verificar o valor da função exatamente no ponto . Como pertence à parte da função, usamos .
Portanto, .

Passo 5

Para a função ser contínua no ponto , os três valores devem ser iguais:
  1. Limite pela esquerda: 1
  2. Limite pela direita: 0
  3. Valor da função em 0: 0
Aqui, o limite pela esquerda (1) é diferente do limite pela direita (0) e também do valor da função em 0 (0).

Passo 6

Como os limites laterais não são iguais, a função não é contínua no ponto . Isso significa que há uma “quebra” ou “salto” no gráfico da função nesse ponto.

Resposta

A função não é contínua no ponto . O gráfico apresenta uma descontinuidade do tipo salto nesse ponto.

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