Calcule lim x 1 sin (x-1)x^2-1;

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse exercício está relacionado ao estudo de limites em Cálculo, especificamente com funções trigonométricas e polinomiais. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar propriedades de limites e possivelmente a regra de L’Hôpital, que é útil quando encontramos uma indeterminação do tipo .

Passo 2

Primeiro, vamos substituir sin(1 - 1)1^2 - 1 = sin(0)0 = 00 diretamente na função para verificar se obtemos uma forma indeterminada:
Encontramos uma indeterminação do tipo , o que nos permite aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 3

A regra de L’Hôpital diz que se limx a f(x)g(x) = limx a f'(x)g'(x) resulta em ou , então podemos derivar o numerador e o denominador separadamente:
desde que o limite à direita exista.

Passo 4

Vamos derivar o numerador e o denominador da nossa função:
  • Derivada de ddx sin(x - 1) = cos(x - 1) cdot 1 = cos(x - 1) em relaç��o a ddx (x^2 - 1) = 2x :
  • Derivada de em relação a :

Passo 5

Aplicando a regra de L’Hôpital, temos:
limx 1 sin(x - 1)x^2 - 1 = limx 1 cos(x - 1)2x

Passo 6

Agora, substituímos cos(1 - 1)2 cdot 1 = cos(0)2 = 12 na nova expressão:
Sabemos que .

Resposta

Portanto, o limite é .

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