Calcule
;
Passo 1
Vamos resolver o limite
. Esse exercício está relacionado ao estudo de limites em Cálculo, especificamente com funções trigonométricas e polinomiais. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar propriedades de limites e possivelmente a regra de L’Hôpital, que é útil quando encontramos uma indeterminação do tipo
.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
diretamente na função para verificar se obtemos uma forma indeterminada:
Encontramos uma indeterminação do tipo
, o que nos permite aplicar a regra de L’Hôpital.
Passo 3
A regra de L’Hôpital diz que se
resulta em
ou
, então podemos derivar o numerador e o denominador separadamente:
desde que o limite à direita exista.
Passo 4
Vamos derivar o numerador e o denominador da nossa função:
- Derivada de
em rela�o a :
- Derivada de
em relação a :
Passo 5
Aplicando a regra de L’Hôpital, temos:
Passo 6
Agora, substituímos
na nova expressão:
Sabemos que
.
Resposta
Portanto, o limite é
.