Suponha que f seja uma função que satisfaça a equação
f(x+y)=f(x)+f(y)+x^2 y+x y^2
para todos os números reais x e y. Suponha também que
lim x 0 f(x)x=1
Encontre f^prime(x).

Passo 1

Vamos resumir o problema. Temos uma função f(x + y) = f(x) + f(y) + x^2y + xy^2 que satisfaz a equação funcional
limx 0 f(x)x = 1
para todos os números reais e . Além disso, sabemos que
Queremos encontrar a derivada de , ou seja, . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial e propriedades de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar descobrir uma expressão para f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d . Vamos assumir que é uma função polinomial, já que a equação dada envolve termos quadráticos. Vamos supor que:
onde , , e são constantes que precisamos determinar.

Passo 3

Substituímos a(x + y)^3 + b(x + y)^2 + c(x + y) + d = [ax^3 + bx^2 + cx + d] + [ay^3 + by^2 + cy + d] + x^2y + xy^2 e a(x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3) + b(x^2 + 2xy + y^2) + c(x + y) + d na equação funcional:
= ax^3 + 3ax^2y + 3axy^2 + ay^3 + bx^2 + 2bxy + by^2 + cx + cy + d
Expandindo o lado esquerdo:
ax^3 + bx^2 + cx + d + ay^3 + by^2 + cy + d + x^2y + xy^2
Igualando aos termos do lado direito:

Passo 4

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de a = a (Verdadeiro, não nos dá nova informação) , 3a = 1 implies a = 13 , 3a = 1 implies a = 13 (Consistente com o anterior) , a = a (Verdadeiro) , b = b (Verdadeiro) , 2b = 0 implies b = 0 , b = 0 (Já sabemos que b = 0) , c = c (Verdadeiro) , c = c (Verdadeiro) e os termos constantes.
Para d = 2d implies d = 0 :
ãáçã
Para :
Para :
Para :
Para :
Para :
Para :
á
Para :
Para :
Termos constantes:

Passo 5

Agora que encontramos os valores das constantes:
a = 13, b = 0, d = 0
A função f(x) = 13x^3 + cx fica:

Passo 6

Para determinar limx 0 f(x)x = 1 , usamos a condição do limite:
limx 0 13x^3 + cxx = limx 0 ( 13x^2 + c ) = c = 1
Substituindo :
Portanto, .

Passo 7

Agora, temos a expressão completa da função f(x) = 13x^3 + x :

Passo 8

Finalmente, para encontrar a derivada f'(x) = ddx ( 13x^3 + x ) = 13 cdot 3x^2 + 1 = x^2 + 1 , derivamos em relação a :

Resposta

A derivada de f'(x) = x^2 + 1 é

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