Suponha que
seja uma função que satisfaça a equação
para todos os números reais
e
. Suponha também que
Encontre
.
Passo 1
Vamos resumir o problema. Temos uma função
que satisfaz a equação funcional
para todos os números reais
e
. Além disso, sabemos que
Queremos encontrar a derivada de
, ou seja,
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial e propriedades de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar descobrir uma expressão para
. Vamos assumir que
é uma função polinomial, já que a equação dada envolve termos quadráticos. Vamos supor que:
onde
,
,
e
são constantes que precisamos determinar.
Passo 3
Substituímos
e
na equação funcional:
Expandindo o lado esquerdo:
Igualando aos termos do lado direito:
Passo 4
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de
,
,
,
,
,
,
,
,
e os termos constantes.
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Termos constantes:
Passo 5
Agora que encontramos os valores das constantes:
A função
fica:
Passo 6
Para determinar
, usamos a condição do limite:
Substituindo
:
Portanto,
.
Passo 7
Agora, temos a expressão completa da função
:
Passo 8
Finalmente, para encontrar a derivada
, derivamos
em relação a
:
Resposta
A derivada de
é