Em cada item a seguir, determine se a função dada é contínua no ponto indicado. Esboce o gráfico da função.
no ponto 2 ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a função dada é contínua no ponto
. Estamos lidando com uma função que tem duas “partes” diferentes dependendo do valor de
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é continuidade e como calcular os limites laterais da função nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função
é contínua no ponto
se três condições forem verdadeiras:
-
está definida: ou seja, a função tem um valor naquele ponto. - O limite de
quando se aproxima de existe. - O limite de
quando se aproxima de é igual a .
Então, vamos verificar essas três coisas para
.
Passo 3
Primeiro, vamos encontrar
. Olhando para a função:
Como
é incluído na primeira parte (
), substituímos:
Então,
.
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite quando
se aproxima de 2 pela esquerda, ou seja,
:
Usamos a primeira parte da função:
Então, o limite pela esquerda é 2.
Passo 5
Em seguida, calculamos o limite quando
se aproxima de 2 pela direita,
:
Usamos a segunda parte da função:
Então, o limite pela direita também é 2.
Passo 6
Agora, comparamos os limites e o valor da função:
Como os dois limites laterais são iguais e também iguais a
, todas as condições para a continuidade são satisfeitas.
Passo 7
Por fim, para esboçar o gráfico da função:
- Para
, a função é , que é uma onda senoidal deslocada para cima. - Para
, a função é , uma reta crescente.
No ponto
, as duas partes se encontram perfeitamente no valor 2, sem buracos ou quebras, confirmando que a função é contínua ali.
Resposta
A função
é contínua no ponto
.