Em cada item a seguir, determine se a função dada é contínua no ponto indicado. Esboce o gráfico da função.
no ponto 2 ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a função dada é contínua no ponto
. Estamos lidando com uma função que tem duas “partes” diferentes dependendo do valor de
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é continuidade e como calcular os limites laterais da função nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função
é contínua no ponto
se três condições forem verdadeiras:
-
está definida: ou seja, a função tem um valor naquele ponto. - O limite de
quando se aproxima de existe. - O limite de
quando se aproxima de é igual a .
Então, vamos verificar essas três coisas para
.
Passo 3
Primeiro, vamos encontrar
. Olhando para a função:
Como
é incluído na primeira parte (
), substituímos:
Então,
.
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite quando
se aproxima de 2 pela esquerda, ou seja,
:
Usamos a primeira parte da função:
Então, o limite pela esquerda é 2.
Passo 5
Em seguida, calculamos o limite quando
se aproxima de 2 pela direita,
:
Usamos a segunda parte da função:
Então, o limite pela direita também é 2.
Passo 6
Agora, comparamos os limites e o valor da função:
Como os dois limites laterais são iguais e também iguais a
, todas as condições para a continuidade são satisfeitas.
Passo 7
Por fim, para esboçar o gráfico da função:
- Para
, a função é , que é uma onda senoidal deslocada para cima. - Para
, a função é , uma reta crescente.
No ponto
, as duas partes se encontram perfeitamente no valor 2, sem buracos ou quebras, confirmando que a função é contínua ali.
Resposta
A função
é contínua no ponto
.
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Calcule
.
<html><head></head><body><div>Ache as assíntotas verticais ao gráfico de <span class="math-inline " data-overflow=“visible”>
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.464ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“1.244ex” height=“2.059ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -705 550 910”><title>f</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D453” d=“M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z”></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>, caso existam, para as funções <span class="math-inline " data-overflow=“visible”>
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.464ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“1.244ex” height=“2.059ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -705 550 910”><title>f</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D453” d=“M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z”></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> indicadas abaixo: <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -1.238ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“16.72ex” height=“2.935ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -750 7390.1 1297.1”><title>f(x) = x / ((x - 1) * (x - 2))</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D453” d=“M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 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