Em cada item a seguir, determine se a função dada é contínua no ponto indicado. Esboce o gráfico da função. f(x) = { 2 + sen(pi x), se x <= 2, 2x - 2, se x > 2 } no ponto 2 ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a função dada é contínua no ponto . Estamos lidando com uma função que tem duas “partes” diferentes dependendo do valor de . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é continuidade e como calcular os limites laterais da função nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua no ponto se três condições forem verdadeiras:
  1. está definida: ou seja, a função tem um valor naquele ponto.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .
Então, vamos verificar essas três coisas para .

Passo 3

Primeiro, vamos encontrar . Olhando para a função:
Como é incluído na primeira parte ( ), substituímos:
Então, .

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando se aproxima de 2 pela esquerda, ou seja, :
Usamos a primeira parte da função:
Então, o limite pela esquerda é 2.

Passo 5

Em seguida, calculamos o limite quando se aproxima de 2 pela direita, :
Usamos a segunda parte da função:
Então, o limite pela direita também é 2.

Passo 6

Agora, comparamos os limites e o valor da função:
Como os dois limites laterais são iguais e também iguais a , todas as condições para a continuidade são satisfeitas.

Passo 7

Por fim, para esboçar o gráfico da função:
  • Para , a função é , que é uma onda senoidal deslocada para cima.
  • Para , a função é , uma reta crescente.
No ponto , as duas partes se encontram perfeitamente no valor 2, sem buracos ou quebras, confirmando que a função é contínua ali.

Resposta

A função é contínua no ponto .

Exercícios relacionados