Calcule lim x pi4 cos x-sin xtan x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O desafio é calcular o limite quando se aproxima de para a expressão . A gente vai usar fundamentos de limites e identidades trigonométricas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um limite. O limite de uma função em um ponto é o valor que a função se aproxima quando a variável se aproxima desse ponto. Aqui, queremos saber para onde está indo quando está perto de .

Passo 3

Vamos simplificar a expressão. Sabemos que tan x = sin xcos x . Então, podemos reescrever o denominador:

Passo 4

Substituindo isso na expressão original, temos:
cos x - sin xtan x = cos x - sin xsin xcos x = (cos x - sin x) cdot cos xsin x

Passo 5

Vamos distribuir o (cos x - sin x) cdot cos xsin x = cos^2 xsin x - sin x cos xsin x = cos^2 xsin x - cos x :

Passo 6

Agora, avaliaremos cada termo separadamente no limite cos(pi4) = raiz22 e sin(pi4) = raiz22 .
Sabemos que:

Passo 7

Substituindo esses valores:
cos^2 xsin x = (raiz22)^2raiz22 = 24raiz22 = 12raiz22 = 1raiz2
E:
cos x = raiz22

Passo 8

Agora, juntando os resultados:
1raiz2 - raiz22 = raiz22 - raiz22 = 0

Resposta

O limite é igual a .

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