Em cada item a seguir, determine a interseção da reta com o plano .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra encontrar a interseção da reta com o plano . A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica, especificamente trabalhando com equações de retas e planos no espaço. Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar a reta e a equação do plano, e depois encontrar os pontos que satisfazem ambas as equações.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar as equações da reta e do plano :
A reta é dada por:
onde é um parâmetro real.
O plano é definido por:

Passo 3

Para encontrar a interseção, precisamos que um ponto esteja tanto na reta quanto no plano . Isso significa que precisamos substituir as expressões da reta na equação do plano e resolver para .

Passo 4

Substituindo e da reta na equação do plano:
Vamos simplificar isso passo a passo.

Passo 5

Distribuindo o -3 na expressão:
Agora, vamos combinar os termos semelhantes.

Passo 6

Somando os termos constantes e os termos com :

Passo 7

Chegamos a , que é sempre verdadeiro. Isso significa que qualquer valor de satisfaz a equação do plano.

Passo 8

Como qualquer da reta está no plano , isso indica que a reta está toda contida no plano. Ou seja, a interseção entre a reta e o plano não é um ponto único, mas sim toda a reta .

Resposta

A reta está totalmente contida no plano , portanto, a interseção é a própria reta .

Exercícios relacionados

Seja a transformação linear para a qual e . Determine .
Determine a equação vetorial e as equações simétricas da reta que passa pelos pontos e B .
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se é uma projeção ortogonal em uma reta do , então .
II - Se é uma projeção ortogonal em um plano do , então .
(A) Apenas II é verdadeira.
(B) Apenas I é verdadeira.
© Todas são falsas.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei
A matriz abaixo representa uma rotação em torno de um eixo passando pela origem, em :
Qual é o cosseno do ângulo de rotação?
Dica: Determine eixo de rotação, uma direção ortogonal ao eixo e determine o ângulo que este vetor é rodado.
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I) Não sei