Em cada item a seguir, determine a interseção da reta r com o plano pi.
r:lx=2-2 t y=-1+3 t, t in R e pi: y-3 z+4=0 z=1+t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra encontrar a interseção da reta com o plano . A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica, especificamente trabalhando com equações de retas e planos no espaço. Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar a reta e a equação do plano, e depois encontrar os pontos que satisfazem ambas as equações.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar as equações da reta x = 2 - 2t y = -1 + 3t z = 1 + t e do plano y - 3z + 4 = 0 :
A reta é dada por:
onde é um parâmetro real.
O plano é definido por:

Passo 3

Para encontrar a interseção, precisamos que um ponto esteja tanto na reta quanto no plano . Isso significa que precisamos substituir as expressões da reta na equação do plano e resolver para .

Passo 4

Substituindo (-1 + 3t) - 3(1 + t) + 4 = 0 e da reta na equação do plano:
Vamos simplificar isso passo a passo.

Passo 5

Distribuindo o -3 na expressão:
-1 + 3t - 3 - 3t + 4 = 0
Agora, vamos combinar os termos semelhantes.

Passo 6

Somando os termos constantes e os termos com (-1 - 3 + 4) + (3t - 3t) = 0 :
0 + 0 = 0

Passo 7

Chegamos a , que é sempre verdadeiro. Isso significa que qualquer valor de satisfaz a equação do plano.

Passo 8

Como qualquer da reta está no plano , isso indica que a reta está toda contida no plano. Ou seja, a interseção entre a reta e o plano não é um ponto único, mas sim toda a reta .

Resposta

A reta está totalmente contida no plano , portanto, a interseção é a própria reta .

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