Em cada item a seguir, determine a interseção da reta com o plano .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra encontrar a interseção da reta com o plano . A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica, especificamente trabalhando com equações de retas e planos no espaço. Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar a reta e a equação do plano, e depois encontrar os pontos que satisfazem ambas as equações.
Passo 2
Primeiro, vamos anotar as equações da reta e do plano :
A reta é dada por:
onde é um parâmetro real.
O plano é definido por:
Passo 3
Para encontrar a interseção, precisamos que um ponto esteja tanto na reta quanto no plano . Isso significa que precisamos substituir as expressões da reta na equação do plano e resolver para .
Passo 4
Substituindo e da reta na equação do plano:
Vamos simplificar isso passo a passo.
Passo 5
Distribuindo o -3 na expressão:
Agora, vamos combinar os termos semelhantes.
Passo 6
Somando os termos constantes e os termos com :
Passo 7
Chegamos a , que é sempre verdadeiro. Isso significa que qualquer valor de satisfaz a equação do plano.
Passo 8
Como qualquer da reta está no plano , isso indica que a reta está toda contida no plano. Ou seja, a interseção entre a reta e o plano não é um ponto único, mas sim toda a reta .
Resposta
A reta está totalmente contida no plano , portanto, a interseção é a própria reta .