Em cada item a seguir, determine a interseção da reta com o plano .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra encontrar a interseção da reta com o plano . A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica, especificamente trabalhando com equações de retas e planos no espaço. Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar a reta e a equação do plano, e depois encontrar os pontos que satisfazem ambas as equações.
Passo 2
Primeiro, vamos anotar as equações da reta x = 2 - 2t y = -1 + 3t z = 1 + t e do plano y - 3z + 4 = 0 :
A reta é dada por:
onde é um parâmetro real.
O plano é definido por:
Passo 3
Para encontrar a interseção, precisamos que um ponto esteja tanto na reta quanto no plano . Isso significa que precisamos substituir as expressões da reta na equação do plano e resolver para .
Passo 4
Substituindo (-1 + 3t) - 3(1 + t) + 4 = 0 e da reta na equação do plano:
Vamos simplificar isso passo a passo.
Passo 5
Distribuindo o -3 na expressão:
-1 + 3t - 3 - 3t + 4 = 0
Agora, vamos combinar os termos semelhantes.
Passo 6
Somando os termos constantes e os termos com (-1 - 3 + 4) + (3t - 3t) = 0 :
0 + 0 = 0
Passo 7
Chegamos a , que é sempre verdadeiro. Isso significa que qualquer valor de satisfaz a equação do plano.
Passo 8
Como qualquer da reta está no plano , isso indica que a reta está toda contida no plano. Ou seja, a interseção entre a reta e o plano não é um ponto único, mas sim toda a reta .
Resposta
A reta está totalmente contida no plano , portanto, a interseção é a própria reta .