Seja T: R^2 R a transformação linear para a qual T(1,1)=3 e T(0,1)=-2. Determine T(a, b).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre transformações lineares, um tópico de Álgebra Linear. A gente precisa descobrir como a transformação age em qualquer vetor no plano, usando as informações que e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser expressa como uma combinação linear das coordenadas do vetor. Ou seja, .

Passo 3

A gente já sabe que T(1,1) = T(1,0) + T(0,1) . Mas faltou descobrir 3 = T(1,0) + (-2) . Para isso, vamos usar a outra informação que . Sabemos que:
Substituindo os valores que temos:

Passo 4

Agora, é só resolver essa equação para encontrar 3 = T(1,0) - 2 T(1,0) = 3 + 2 T(1,0) = 5 :

Passo 5

Com os valores de T(a, b) = a cdot 5 + b cdot (-2) T(a, b) = 5a - 2b e conhecidos, podemos montar a expressão geral para :

Resposta

A transformação linear é .

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