Determine a equação vetorial e as equações simétricas da reta que passa pelos pontos A(2,4,-3) e B (3,-1,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica! A gente precisa encontrar a equação vetorial e as equações simétricas de uma reta que passa pelos pontos A(2,4,-3) e B(3,-1,1). Para isso, vamos precisar usar o conceito de vetores direcionais e como eles definem uma reta no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o vetor direcionando a reta, que é basicamente a diferença entre os pontos B e A. Calculamos isso subtraindo as coordenadas de A das de B:
v = B - A = (3-2, -1-4, 1-(-3)) = (1, -5, 4)
Então, o vetor direcionando a reta é v = (1, -5, 4).

Passo 3

Agora, vamos montar a equação vetorial da reta. A equação vetorial de uma reta passa por um ponto P0(x0, y0, z0) e tem vetor direcional v = (a, b, c) é dada por:
r = P0 + t v
Onde t é um parâmetro real. Podemos usar o ponto A(2,4,-3) como P0. Então, a equação vetorial fica:
r = (2,4,-3) + t(1,-5,4)

Passo 4

Agora, vamos transformar essa equação vetorial em equações simétricas. As equações simétricas de uma reta são obtidas isolando o parâmetro t em cada uma das coordenadas. A partir da equação vetorial:
x = 2 + t cdot 1 y = 4 + t cdot (-5) z = -3 + t cdot 4
Isolando t em cada uma:
t = x - 21 = y - 4-5 = z + 34
Então, as equações simétricas da reta são:
x - 21 = y - 4-5 = z + 34

Resposta

A equação vetorial da reta é:
r = (2,4,-3) + t(1,-5,4)
E as equações simétricas da reta são:
x - 21 = y - 4-5 = z + 34

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