A matriz abaixo representa uma rotação em torno de um eixo passando pela origem, em :
Qual é o cosseno do ângulo de rotação?
Dica: Determine eixo de rotação, uma direção ortogonal ao eixo e determine o ângulo que este vetor é rodado.
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma matriz que representa uma rotação no espaço tridimensional ( ). O objetivo é encontrar o cosseno do ângulo dessa rotação. Para isso, vamos precisar entender como uma matriz de rotação funciona, identificar o eixo de rotação e determinar o ângulo usando vetores e produtos escalares.

Passo 2

Primeiro, recorde que em 3D, uma matriz de rotação mantém um eixo fixo, ou seja, há um vetor que não muda quando a rotação é aplicada. Esse vetor é o eixo de rotação.

Passo 3

Vamos encontrar o eixo de rotação. Para isso, buscamos um vetor que satisfaça . Isso significa resolver a equação:

[
\frac{1}{45}


]

Passo 4

Multiplicando a matriz pelo vetor, temos:
Multiplicando ambos os lados por 45 para simplificar:

Passo 5

Resolvendo as equações:

Passo 6

Podemos simplificar essas equações dividindo por fatores comuns:
  1. → Dividindo por 2:
  2. → Dividindo por 10:
  3. → Dividindo por 4:

Passo 7

Agora, vamos resolver esse sistema. Da segunda equação simplificada:
Substituindo na primeira equação:

Passo 8

Agora, sabemos que e . Então, o vetor eixo de rotação pode ser escrito como:
Podemos escolher para simplificar:

Passo 9

Agora que temos o eixo de rotação, precisamos encontrar o ângulo de rotação. Para isso, podemos usar o fato de que, para qualquer vetor perpendicular ao eixo de rotação, a matriz irá rotacioná-lo pelo ângulo desejado.
Escolhemos, por exemplo, o vetor , que não está alinhado com o eixo. Aplicando em :

[
R\mathbf{u} = \frac{1}{45}

\frac{1}{45}


]

Passo 10

Agora, usamos a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores e :
Calculando o produto escalar:
As normas são:

Passo 11

Então,

Resposta

Nenhuma das alternativas corresponde a . Portanto, a resposta correta é:
(I) Não sei

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Considere as afirmativas abaixo:
I - Se é uma projeção ortogonal em uma reta do , então .
II - Se é uma projeção ortogonal em um plano do , então .
(A) Apenas II é verdadeira.
(B) Apenas I é verdadeira.
© Todas são falsas.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei
Em cada item a seguir, determine a interseção da reta com o plano .
Encontre equações paramétricas da reta que passa pelo ponto médio do segmento MN , com e e é paralela à reta .
Determine as equações da reta que passa pela origem e é ortogonal às retas