Beleza, vamos lá! Temos uma matriz que representa uma rotação no espaço tridimensional (). O objetivo é encontrar o cosseno do ângulo dessa rotação. Para isso, vamos precisar entender como uma matriz de rotação funciona, identificar o eixo de rotação e determinar o ângulo usando vetores e produtos escalares.
Passo 2
Primeiro, recorde que em 3D, uma matriz de rotação mantém um eixo fixo, ou seja, há um vetor que não muda quando a rotação é aplicada. Esse vetor é o eixo de rotação.
Passo 3
Vamos encontrar o eixo de rotação. Para isso, buscamos um vetor que satisfaça . Isso significa resolver a equação:
[
\frac{1}{45}
]
Passo 4
Multiplicando a matriz pelo vetor, temos:
Multiplicando ambos os lados por 45 para simplificar:
Passo 5
Resolvendo as equações:
→
→
→
Passo 6
Podemos simplificar essas equações dividindo por fatores comuns:
→ Dividindo por 2:
→ Dividindo por 10:
→ Dividindo por 4:
Passo 7
Agora, vamos resolver esse sistema. Da segunda equação simplificada:
Substituindo na primeira equação:
Passo 8
Agora, sabemos que e . Então, o vetor eixo de rotação pode ser escrito como:
Podemos escolher para simplificar:
Passo 9
Agora que temos o eixo de rotação, precisamos encontrar o ângulo de rotação. Para isso, podemos usar o fato de que, para qualquer vetor perpendicular ao eixo de rotação, a matriz irá rotacioná-lo pelo ângulo desejado.
Escolhemos, por exemplo, o vetor , que não está alinhado com o eixo. Aplicando em :
[
R\mathbf{u} = \frac{1}{45}
\frac{1}{45}
]
Passo 10
Agora, usamos a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores e :
Calculando o produto escalar:
As normas são:
Passo 11
Então,
Resposta
Nenhuma das alternativas corresponde a . Portanto, a resposta correta é: