A matriz R abaixo representa uma rotação em torno de um eixo passando pela origem, em R^3 :
R=145[rrr 35 & -4 & 28 20 & 35 & -20 -20 & 28 & 29 ]
Qual é o cosseno do ângulo de rotação?
Dica: Determine eixo de rotação, uma direção ortogonal ao eixo e determine o ângulo que este vetor é rodado.
(A) -12
(B) 34
© 35
(D) -35
(E) -45
(F) -34
(G) 12
(H) 45
(I) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma matriz que representa uma rotação no espaço tridimensional ( ). O objetivo é encontrar o cosseno do ângulo dessa rotação. Para isso, vamos precisar entender como uma matriz de rotação funciona, identificar o eixo de rotação e determinar o ângulo usando vetores e produtos escalares.

Passo 2

Primeiro, recorde que em 3D, uma matriz de rotação mantém um eixo fixo, ou seja, há um vetor que não muda quando a rotação é aplicada. Esse vetor é o eixo de rotação.

Passo 3

Vamos encontrar o eixo de rotação. Para isso, buscamos um vetor 145 35 & -4 & 28 20 & 35 & -20 -20 & 28 & 29 vx vy vz = vx vy vz que satisfaça . Isso significa resolver a equação:

[
\frac{1}{45}


]

Passo 4

Multiplicando a matriz pelo vetor, temos:
145 (35vx - 4vy + 28vz) = vx 145 (20vx + 35vy - 20vz) = vy 145 (-20vx + 28vy + 29vz) = vz
Multiplicando ambos os lados por 45 para simplificar:
35vx - 4vy + 28vz = 45vx 20vx + 35vy - 20vz = 45vy -20vx + 28vy + 29vz = 45vz

Passo 5

Resolvendo as equações:

Passo 6

Podemos simplificar essas equações dividindo por fatores comuns:
  1. → Dividindo por 2:
  2. → Dividindo por 10:
  3. → Dividindo por 4:

Passo 7

Agora, vamos resolver esse sistema. Da segunda equação simplificada:
2vx - vy - 2vz = 0 implies vy = 2vx - 2vz
Substituindo -5vx - 2(2vx - 2vz) + 14vz = 0 -5vx - 4vx + 4vz + 14vz = 0 -9vx + 18vz = 0 implies vx = 2vz na primeira equação:

Passo 8

Agora, sabemos que v = (2vz, 2vz, vz) = vz(2, 2, 1) e v = (2, 2, 1) . Então, o vetor eixo de rotação pode ser escrito como:
Podemos escolher para simplificar:

Passo 9

Agora que temos o eixo de rotação, precisamos encontrar o ângulo de rotação. Para isso, podemos usar o fato de que, para qualquer vetor perpendicular ao eixo de rotação, a matriz Ru = 145 35 & -4 & 28 20 & 35 & -20 -20 & 28 & 29 1 0 0 = 145 35 20 -20 = 3545 2045 -2045 = 79 49 -49 irá rotacioná-lo pelo ângulo desejado.
Escolhemos, por exemplo, o vetor , que não está alinhado com o eixo. Aplicando em :

[
R\mathbf{u} = \frac{1}{45}

\frac{1}{45}


]

Passo 10

Agora, usamos a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores cos(theta) = u cdot Ru|u| |Ru| e u cdot Ru = 1 cdot 79 + 0 cdot 49 + 0 cdot (-49) = 79 :
|u| = raiz1^2 + 0^2 + 0^2 = 1 |Ru| = raiz(79)^2 + (49)^2 + (-49)^2 = raiz4981 + 1681 + 1681 = raiz8181 = 1
Calculando o produto escalar:
As normas são:

Passo 11

Então,
cos(theta) = 791 cdot 1 = 79

Resposta

Nenhuma das alternativas corresponde a . Portanto, a resposta correta é:
(I) Não sei

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