Beleza, vamos lá! Temos uma matriz que representa uma rotação no espaço tridimensional (). O objetivo é encontrar o cosseno do ângulo dessa rotação. Para isso, vamos precisar entender como uma matriz de rotação funciona, identificar o eixo de rotação e determinar o ângulo usando vetores e produtos escalares.
Passo 2
Primeiro, recorde que em 3D, uma matriz de rotação mantém um eixo fixo, ou seja, há um vetor que não muda quando a rotação é aplicada. Esse vetor é o eixo de rotação.
Passo 3
Vamos encontrar o eixo de rotação. Para isso, buscamos um vetor 145 35 & -4 & 28 20 & 35 & -20 -20 & 28 & 29 vx vy vz = vx vy vz que satisfaça . Isso significa resolver a equação:
Agora, sabemos que v = (2vz, 2vz, vz) = vz(2, 2, 1) e v = (2, 2, 1) . Então, o vetor eixo de rotação pode ser escrito como:
Podemos escolher para simplificar:
Passo 9
Agora que temos o eixo de rotação, precisamos encontrar o ângulo de rotação. Para isso, podemos usar o fato de que, para qualquer vetor perpendicular ao eixo de rotação, a matriz Ru = 145 35 & -4 & 28 20 & 35 & -20 -20 & 28 & 29 1 0 0 = 145 35 20 -20 = 3545 2045 -2045 = 79 49 -49 irá rotacioná-lo pelo ângulo desejado.
Escolhemos, por exemplo, o vetor , que não está alinhado com o eixo. Aplicando em :
[
R\mathbf{u} = \frac{1}{45}
\frac{1}{45}
]
Passo 10
Agora, usamos a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores cos(theta) = u cdot Ru|u| |Ru| e u cdot Ru = 1 cdot 79 + 0 cdot 49 + 0 cdot (-49) = 79 :